Ungleichung, Beweise und Mengen

Question

Text erkannt:

Aufgabe 2 (Ungleichungen)
(i) Zeigen Sie, dass für alle positiven reellen Zahlen \( a \) und \( b \) gilt:
\( \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \)
(ii) Für welche \( x \in \mathbb{R} \) gilt \( \sqrt{1-x}-\sqrt{x}>\frac{3}{\sqrt{5}} ? \)
(iii) Bestimmen Sie die Menge aller \( x \in \mathbb{R} \) mit \( x+\frac{x+2}{\sqrt{x+1}} \geq 2 \).

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Answer 1

Aloha :)

zu (i) Da \(a\) und \(b\) positive reelle Zahlen sind, sind deren Wurzeln definiert:$$0\le(\sqrt a-\sqrt b)^2=\left(\sqrt a\right)^2-2\sqrt a\,\sqrt b+\left(\sqrt b\right)^2=a-2\sqrt{ab}+b$$Daraus folgt die rechte Seite der Ungleichung:$$2\sqrt{ab}\le a+b\quad\implies\quad\sqrt{ab}\le\frac{a+b}2$$Und daraus folgt schnell die linke Seite der Ungleichung:$$2\sqrt{ab}\le a+b\implies\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\le1\implies\frac{2ab}{a+b}\le\sqrt{ab}\implies\frac{2}{\frac{a+b}{ab}}\le\sqrt{ab}\implies\frac{2}{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}$$Damit gilt tatsächlich:$$\frac{2}{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}$$

zu (ii) Damit \(\sqrt x\) definiert ist, muss \(x\ge0\) gelten. Damit ist \(\sqrt{1-x}\le1\) und erst recht:$$\sqrt{1-x}-\sqrt x\le1$$Da \(\frac{5}{\sqrt3}>1\) ist, gibt es hier keine Lösung für die Ungleichung.

zu (iii) Für \(x>-1\) gilt nach (i):$$\sqrt{x+1}=\sqrt{1\cdot(x+1)}\le\frac{1+(x+1)}{2}=\frac{x+2}{2}\implies\frac{x+2}{\sqrt{x+1}}\ge2$$Für \(x\ge0\) vergrößern wir die linke Seite, wenn wir \(x\) addieren, das heißt:$$x+\frac{x+2}{\sqrt{x+1}}\ge2\quad\text{für }x\ge0$$

Es sind noch Werte \(x\in(-1|0)\) möglich. Da der Nenner \(\sqrt{x+1}\) für \(x\to(-1)\) gegen \(0\) geht, erwarten wir für ein \(x_0\) mit \(-1<x<x_0<0\), dass die Ungleichung wieder erfüllt wird. Wir bestimmen dieses \(x_0\) durch Lösen der Gleichung:$$\left.x_0+\frac{x_0+2}{\sqrt{x_0+1}}=2\quad\right|\cdot\sqrt{x_0+1}$$$$\left.x_0\sqrt{x_0+1}+x_0+2=2\sqrt{x_0+1}\quad\right|-x_0\sqrt{x_0+1}$$$$\left.x_0+2=(2-x_0)\sqrt{x_0+1}\quad\right|\text{quadrieren}$$$$\left.x_0^2+4x_0+4=(4-4x_0+x_0^2)(x_0+1)\quad\right|\text{ausmultiplizieren}$$$$\left.x_0^2+4x_0+4=4x_0-4x_0^2+x_0^3+4-4x_0+x_0^2\quad\right|\text{alle Terme nach links}$$$$\left.4x_0+4x_0^2-x_0^3=0\quad\right|\text{\(-x_0\) ausklammern}$$$$\left.-x_0\cdot(x_0^2-4x_0-4)=0\quad\right|$$Die Lösung \(x_0=0\) kennen wir schon von oben. Die beiden anderen Lösungen liefert die pq-Formel:$$x_0=2\pm\sqrt{4+4}=2\pm\sqrt 8$$Da wir speziell an einer Lösung im Intervall \((0|1)\) interessiert sind, bleibt nur das negative Vorzeichen. Damit lautet die Lösungsmenge für unsere Ungleichung:$$\mathbf L=\left(-1|2-\sqrt8\right]\cup\left[0|\infty\right)$$

Answer 2

für alle positiven reellen Zahlen \( a \) und \( b \) gilt:

\( \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \)

Erst mal den rechten Teil

\( \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \)

Da alles nicht negativ ist, ist quadrieren eine Äquivalenzumformung:

\( <=> ab \leq (\frac{a+b}{2})^2 \)

\( <=> ab \leq \frac{a^2+2ab+b^2}{4}\)

\( <=> 4ab \leq a^2+2ab+b^2\)

\( <=> 0 \leq a^2-2ab+b^2\)

\( <=> 0 \leq (a-b)^2\)

und weil Quadrate nie negativ sind, stimmt das.

1. Teil darauf zurückführen:

\( \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leq \sqrt{a b}  \)

\( <=>   2 \leq \sqrt{a b} \cdot (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})   | \cdot ab\)

\( <=>  2ab \leq \sqrt{a b} \cdot (b+a)    | :2\sqrt{ ab} \)

\( <=> \sqrt{a b} \leq \frac{a+b}{2} \)

Das ist der rechte Teil.