lin(M1 U M2) = lin(M1) U lin(M2)

Question

\( \operatorname{lin}(M \cup \tilde{M})=\operatorname{lin}(M) \cup \operatorname{lin}(\tilde{M}) \)

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Wenn lin die lineare Hülle bedeuten soll,

ist die Gleichung falsch.

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kannst du auch sagen warum?

Answer 1

Gegenbeispiel in ℝ^2:

M1={  \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  \)  }

dann ist lin(M1) = {  \(  \begin{pmatrix} a\\0 \end{pmatrix} | a \in ℝ \)  }

Entsprechend

M2={  \(  \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  \)  } 
dann ist lin(M2) = {  \(  \begin{pmatrix} 0\\b \end{pmatrix} | b \in ℝ \)  }

M1 ∪ M2 = {  \(  \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}  \) ;  \(  \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}  \)    }

Deren lin. Hülle ist ganz R^2 , aber in lin(M1 ) ∪ lin(M2) ist z.B. \(  \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}  \) nicht enthalten.

Richtig wäre wohl lin( M1 ∪ M2) = lin(M1) + lin (M2)

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danke sehr du hast mir wirklich geholfen