Aloha :)
Du brauchst zunächst die Eigenwerte der Matrix$$A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -4 & 2\\-4 & 2 & 2\\2 & 2 & 5\end{array}\right)$$Dazu lösen wir das charakteristische Polynom auf:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2-\lambda & -4 & 2\\-4 & 2-\lambda & 2\\2 & 2 & 5-\lambda\end{array}\right|\stackrel{(Z_2+=2Z_3)}{=}\left|\begin{array}{rrr}2-\lambda & -4 & 2\\0 & 6-\lambda & 12-2\lambda\\2 & 2 & 5-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}\stackrel{(S_3-=2S_2)}{=}\left|\begin{array}{rrr}2-\lambda & -4 & 10\\0 & 6-\lambda & 0\\2 & 2 & 1-\lambda\end{array}\right|=(6-\lambda)\left|\begin{array}{rrr}2-\lambda & -4 & 10\\0 & 1 & 0\\2 & 2 & 1-\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{0}=(6-\lambda)\cdot\left(\;(2-\lambda)(1-\lambda)-2\cdot10\,\right)=(6-\lambda)(\lambda^2-3\lambda-18)=(6-\lambda)(\lambda-6)(\lambda+3)$$$$\phantom{0}=-(\lambda-6)^2(\lambda+3)$$[Hinweise zur Berechnung: (1) Das Doppelte der 3-ten Zeile wurde zur 2-ten Zeile addiert. (2) Das Doppelte der zweiten Spalte wurde von der 3-ten Spalte subtrahiert. (3) Der Faktor \((6-\lambda)\) wurde aus der 2-ten Zeile vor die Determinante gezogen. (4) Die Determinante wurde nach der mittleren Zeile entwickelt.]
Wir finden den doppelten Eigenwert \(\lambda_1=\lambda_2=6\) und den einfachen Eigenwert \(\lambda_3=-3\).
Als nächstes brauchen wir die Eigenvektoren bzw. die Basen der Eigenräume. Dazu setzen wir die Eigenwerte \(\lambda\) in die charakteristische Matrix ein und bestimmen deren Kerne. Links die Rechung für \(\lambda_{1;2}=6\), rechts die Rechung für \(\lambda_3=-3\)
$$\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline-4 & -4 & 2 & 0 & +2Z_3\\-4 & -4 & 2 & 0 & +2Z_3\\2 & 2 & -1 & 0\\\hline0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\2 & 2 & -1 & 0\end{array}\qquad;\qquad\begin{array}{rrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & = &\text{Aktion}\\\hline5 & -4 & 2 & 0 & +Z_2\\-4 & 5 & 2 & 0 & +2Z_3\\2 & 2 & 8 & 0 &\colon2\\\hline1 & 1 & 4 & 0\\0 & 9 & 18 & 0 & \colon9\\1 & 1 & 4 & 0 & -Z_1\\\hline 1 & 1 & 4 & 0 & -Z_2\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 2 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}$$Für \(\lambda_{1;2}=6\) erhalten wir die Bestimmungsgleichung \(2x_1+2x_2-x_3=0\). Das stellen wir um nach \(x_3=2x_1+2x_2\) und schreiben die Lösungsvektoren auf:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\2x_1+2x_2\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}$$Für \(\lambda=-3\) erhalten wir die Gleichungen: \(x_1+2x_3=0\) und \(x_2+2x_3=0\). Die stellen wir wieder um nach \(x_1=-2x_3\) und \(x_2=-2x_3\) und schreiben die Lösungsvektoren wieder auf:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_3\\-2x_3\\x_3\end{pmatrix}=x_3\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$$
Damit haben wir drei Eigenvektoren gefunden:$$\vec v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}\quad;\quad\vec v_3=\begin{pmatrix}-2\\-2\\1\end{pmatrix}$$
Die Skalarprodukte \(\vec v_1\cdot\vec v_3\) und \(\vec v_2\cdot\vec v_3\) sind \(=0\), also stehen die Vektoren bereits orthogonal zueinander. Wir müssen also noch \(\vec v_1\) mit \(\vec v_2\) orthogonaliseren:$$\vec v_1^\perp=\vec v_1-\vec v_1^\parallel=\vec v_1-\frac{\left(\vec v_1\cdot\vec v_2\right)}{\left\|\vec v_2\right\|^2}\,\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}-\frac{4}{5}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[1ex]-\frac45\\[1ex]\frac25\end{pmatrix}=\frac15\begin{pmatrix}5\\-4\\2\end{pmatrix}$$
Nun müssen wir die gefundenen Vektoren noch normalisieren und in eine Matrix eintragen:$$S=\left(\begin{array}{rrr}\frac{5}{\sqrt{45}} & 0 & -\frac23\\[1ex]-\frac{4}{\sqrt{45}} & \frac{1}{\sqrt5} & -\frac23\\[1ex]\frac{2}{\sqrt{45}} &\frac{2}{\sqrt5} & \frac13\end{array}\right)$$
Nachrechnen ergibt:$$S^T\cdot A\cdot S=\left(\begin{array}{rrr}6 & 0 & 0\\0 & 6 & 0\\0 & 0 & -3\end{array}\right)\quad;\quad S^T\cdot S=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Diese Transformation ist möglich, weil die algebraische Vielfachheit und die geometrische Vielfachheit der Eigenwerte gleich ist. Das gilt hier insbesondere für den doppelten Eigenwert \(\lambda_{1;2}=6\), der einen 2-dimensionalen Eigenraum hat.
