Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes {S}_{{a}} von ga mit {E} in Abhängigkeit von a.

Question

Aufgabe:

9 Gegeben sind die Ebene \( E \) und für jedes \( a \in \mathbb{R} \) eine Gerade \( g_{a} \).
\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{r}3 \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \) und \( g_{a}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ a \\ 2\end{array}\right) \)
a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes \( \mathrm{S}_{\mathrm{a}} \) von ga mit \( \mathrm{E} \) in Abhängigkeit von a. Für welchen Wert von a gibt es keine Lösung? Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch.
b) Für welchen Wert von a liegt der Schnittpunkt \( \mathrm{S}_{\mathrm{a}} \) in der \( \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \)-Ebene?

Problem/Ansatz:

Ich habe es gleichgesetzt und umgestellt zu

2r+3s-t = 1

r +3s -1at =0

-r-s-2t = 0

Ich würde jetzt das Gausverfahren anwenden, dann hab ich werte für s,r,t aber habe ich dann auch einen Wert für a?

Eigentlich muss ich a doch gesondert betrachten...

Hilfe wie geht das?

Answer 1

Da sind einige Fehler drin.

In der ersten Gleichung steht aif der rechten Seite -1.

In der zweiten Zeile muss 1 statt 0 stehen.

aber habe ich dann auch einen Wert für a?

Natürlich nicht. a kann fast jeden beliebigen Wert annehmen. Das ist nichts zum Berechnen. Das ist etwas, MIT DEM du r, s und t berechnest.

Comments

Und wie komme ich auf a?

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GAR NICHT! Du kommst mit jedem a auf irgendein r, s und t.

Answer 2

Hallo,

1+2r+3s=0+1t

0+1r+3s=1+at

1-1r-1s=1+2t

------

2r+3s-1t=-1   (1)

1r+3s-at=1    (2)

1r+1s+2t=0    (3)

-------

s eliminieren:

(1)-(2)         r+(a-1)t=-2

(1)-3*(3)     -r      -7t=-1

-------

usw.

Behandle a wie eine Zahl.

Wenn es für einen bestimmten Wert von a eine widersprüchliche Aussage gibt, existiert kein Schnittpunkt.

Wenn die x3-Koordinate Null ist, liegt der Schnittpunkt in der x1x2-Ebene.

:-)

Answer 3

a)

Das Gleichungssystem lautet

2·r + 3·s - t = - 1
r + 3·s - a·t = 1
r + s + 2·t = 0

Dieses löst du jetzt nach r, s und t in Abhängigkeit von a.

Ich erhalte die Lösung: r = (a + 13)/(a - 8) ∧ s = (a + 7)/(8 - a) ∧ t = 3/(8 - a)

Für a = 8 gibt es demnach keine Lösung. Das liegt daran, dass dann die Gerade parallel zur Ebene liegt.

Den Schnittpunkt bestimmst du jetzt durch Einsetzen von t in die Geradengleichung

S = [0, 1, 1] + 3/(8 - a)·[1, a, 2] = [3/(8 - a), 2·(a + 4)/(8 - a), (a - 14)/(a - 8)]