Taylorreihe/Potenzreihe von Sqrt(1+x^2) um x_0

Question

wie Sieht denn die Potenzreihe von Sqrt(1+x^2) um x₀ aus?

Answer 1

Hi,

für die Taylorreihe an der Stelle x₀ gilt

 

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)*x + f''(x₀)/2!*x^2 + f'''(x₀)/3!*x^3+...

 

Die Ableitungen müssen also besitmmt werden:

f(x) = √(1+x^2)

f'(x) = x/√(1+x^2)

f''(x) = 1/(1+x^2)^{3/2}

etc.

 

Das nun oben einsetzen (und x₀) einsetzen und fertig.

Für die Stelle x₀ = 0 ergibt sich so zum Beispiel

 

f(x) = 1+x^2/2-x^4/8...

 

Grüße

Comments

Ja genau, ich benoetige aber alle Ableitungen an beliebige Stellen, also f⁽ⁿ⁾(x) als Funktion von n und x.

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Uff, da muss ich passen. Hab jetzt zwar en paar Ableitungen angeschaut, sehe aber jetzt keine Möglichkeit das allgm. auszudrücken :/.

Answer 2

Ich beschränke mich mal auf das Taylorpolynom dritten Gerades. Außerdem verwende ich x0 = 0.

f(x) = √(1 + x^2)
f'(x) = x/√(x^2 + 1)
f''(x) = 1/(x^2 + 1)^{3/2}
f'''(x) = - 3·x/(x^2 + 1)^{5/2}

T(x) = f(0)/0!·x^0 + f'(0)/1!·x^1 + f''(0)/2!·x^2 + f'''(0)/3!·x^3
T(x) = x^2/2 + 1

Comments

was ich gerne haette waere ein Ausdruck der mir alle Ableitungen liefert als Funktion von n, wobei n>0 angibt, wie oft es abgeleitet wurde. so wie x^k n mal abgeleitet ist Prod(j=1,n) (k-j)x^{k-n}