Wenn M endlich ist (Und bei endlichdimensionalem V
muss es das ja sein.) mit m Elementen {v1,...,vm }wohl so:
Da M lin. unabh. folgt aus \( \sum \limits_{i=1}^{m} x_i \cdot \vec{v_i}= \vec{0} \)
immer \( x_i = 0 \) für alle i. #
Da wegen der Injektivität nicht unterschiedliche \( x_i = 0 \) gleiche Bilder haben können,
ist φ(M)= { w1,...,wm } .
Um davon die lin. Unabh. zu zeigen betrachte
\( \sum \limits_{i=1}^{m} x_i \cdot \vec{w_i}= \vec{0} \)
<=> \( \sum \limits_{i=1}^{m} x_i \cdot φ(\vec{v_i})= \vec{0} \)
wegen Linearität von φ
<=> \( \sum \limits_{i=1}^{m} φ( x_i \cdot \vec{v_i})= \vec{0} \)
wegen Linearität von φ
<=> \( φ( \sum \limits_{i=1}^{m} x_i \cdot \vec{v_i})= \vec{0} \)
Und da φ injektiv und \( φ( \vec{0} ) = \vec{0} \)
Gilt also \( \sum \limits_{i=1}^{m} x_i \cdot \vec{v_i}= \vec{0} \)
und damit gemäß # auch \( x_i = 0 \) für alle i.
Also sind die mi auch lin. unabhängig.