Zeigen Sie, dass \varphi(M) \subset W linear unabhängig ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( \varphi \in \mathcal{L}(V, W) \) injektiv, und sei \( M \subset V \) linear unabhängig. Zeigen Sie, dass \( \varphi(M) \subset W \) linear unabhängig ist.

Könnte jemand mir dabei helfen?

Lg

Answer 1

Wenn M endlich ist (Und bei endlichdimensionalem V

muss es das ja sein.) mit m Elementen {v₁,...,v_m }wohl so:

Da M lin. unabh. folgt aus \( \sum \limits_{i=1}^{m}  x_i \cdot \vec{v_i}= \vec{0}  \)

immer \(   x_i = 0     \)  für alle i.  #

Da wegen der Injektivität nicht unterschiedliche \(  x_i = 0    \) gleiche Bilder haben können,

ist φ(M)=  { w₁,...,w_m }  .

Um davon die lin. Unabh. zu zeigen betrachte

\( \sum \limits_{i=1}^{m}  x_i \cdot \vec{w_i}= \vec{0}  \)

<=>  \( \sum \limits_{i=1}^{m}  x_i \cdot φ(\vec{v_i})= \vec{0}  \)

wegen Linearität von φ

<=>  \( \sum \limits_{i=1}^{m} φ( x_i \cdot \vec{v_i})= \vec{0}  \)

wegen Linearität von φ
<=>  \( φ( \sum \limits_{i=1}^{m}  x_i \cdot \vec{v_i})= \vec{0}  \)

Und da φ injektiv und \(  φ( \vec{0} )  =  \vec{0} \)

Gilt also \( \sum \limits_{i=1}^{m}  x_i \cdot \vec{v_i}= \vec{0}  \)

und damit gemäß # auch \(  x_i = 0    \)  für alle i.

Also sind die m_i auch lin. unabhängig.

Answer 2

Sei \(M=\{v_1,\cdots,v_r\}\) linear unabhängig.

Dann ist \(\varphi(M)=\{\varphi(v_1),\cdots,\varphi(v_r)\}\).

Sei nun \(\lambda_1\varphi(v_1)+\cdots+\lambda_r\varphi(v_r)=0\).

Wegen der Linearität von \(\varphi\) folgt dann

\(0=\lambda_1\varphi(v_1)+\cdots+\lambda_r\varphi(v_r)=\varphi(\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r)\).

Nun ist auch \(0=\varphi(0)\). Wegen der Injektivität von \(\varphi\) folgt also

\(\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_rv_r=0\). Da \(M\) linear unabhängig ist,

folgt \(\lambda_1=\cdots=\lambda_r=0\).