n ≥ 2 die Menge Sn genauso viele Permutationen mit Vorzeichen 1 wie mit -1 hat

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für n ≥ 2 die Menge S_n genauso viele Permutationen mit Vorzeichen 1 wie mit
Vorzeichen −1 enthält

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass gilt :

1 wenn man eine gerade Anzahl an Transpositionen hat und

-1 falls man eine ungerade Anzahl an Transpositionen hat

Also ich muss Zeigen dass z.B. S₃ gleich viele zerlegungen von Trasnpositionen hat die gerade sind wie ungerade.

Aber ich komme auf keinen grünen Zweig wie ich das anwenden kann um die Aufgabe zu beweisen.

Answer 1

Betrachte \(f:S_n\rightarrow S_n, \; \sigma \mapsto (1\; 2)\circ \sigma\).

Dies ist eine Bijektion, da \(S_n\) eine Gruppe ist.

\(f\) bildet gerade auf ungerade, ungerade auf gerade Permutationen ab ...

Comments

Das mag schon stimmen, aber damit kann ich doch nicht konkret zeigen, dass die Anzahl von positiven Permutationen gleich die Anzahl negativer Permutationen ist.
Vielleicht verstehe ich auch deine Antwort nicht ganz.

---

Wenn \(U\) die Menge der ungeraden Permutationen ist und \(G\)

die Menge der geraden Permutationen,

dann gilt \(G=f(U)\) und \(U=f(G)\). Da \(f\) bijektiv ist,

muss dann \(|U|=|f(U)|=|G|\) gelten, da \(f\) insbesondere injektiv ist.