Zeige, dass die Geraden OQ und BP parallel sind.

Question

Aufgabe:

Wenn B und B’ die Eckpunkte der kleinen Achse einer Ellipse E mit Zentrum O sind,

- t ist die Tangente an E in B’

- t’ ist die Tangente an E in einem beliebigen Punkt der Ellipse P

- t und t’ schneiden sich im Punkt Q

zeige, dass die Geraden OQ und BP parallel sind.

Answer 1

Hallo

nimm och einfach die Ellipse x^2/a^2+y^2/b^2, dann ist t: y=-b

die Tangente in (x1,y1)  ist  xx1/a^2+yy1/b^2=1 schneide sie mit t das ist leicht, dann Steigung  von (x1,y1) zu (0,b) und  vom Nullpunkt zu Q.

Gruß lul

Answer 2

Du musst die Geradengleichung zu f(x) bestimmen. Dann hast du alle Punkte und kannst die Parallelität beweisen.

Answer 3

Ellipse \(  \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1 \)

Tangente hat die Gleichung y=-b

Tangente in (xo,yo)  ist

\(  \frac{x\cdot x_0 }{a^2}+\frac{y \cdot y_0 }{b^2} =1 \)

Schneiden mit t gibt

\(  \frac{x\cdot x_0 }{a^2}+\frac{-b \cdot y_0 }{b^2} =1 \)

<=> \(  \frac{x\cdot x_0 }{a^2}+\frac{-y_0 }{b} =1 \)

<=> \( x = ( 1 +  \frac{ y_0 }{b}) \cdot \frac{a^2 }{x_0}  \)

Die Gerade durch 0 und den Schnittpunkt hat dann die Steigung

\( m_1 =    \frac{-b }{ ( 1 +  \frac{ y_0 }{b}) \cdot \frac{a^2 }{x_0}  }    \)

Und die durch  (0;b) und (xo ; yo) hat die Steigung

\( m_2 =    \frac{b-y_0 }{ x_0  }    \)

Gleichsetzen von m1 und m2 führt auf

\(  \frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2} =1 \), also dass (xo;yo) 

Punkt der Ellipse ist, und davon ging man ja aus.