Induktion - Fehlersuche

Question

Aufgabe:

Induktionsbeweis für alle x Element der natürlichen Zahlen.$$\sum\limits_{k=1}^{x}k^2 = \frac 16 x(x+1)(2x+1)$$

Problem/Ansatz:

Induktionsanfang: \(x=1\) einsetzen ist noch kein Problem

Induktionsbehauptung/-voraussetzung:

Für alle x Element der natürlichen Zahlen gilt \(\sum\limits_{k=1}^{x}k^2 = \frac 16 x(x+1)(2x+1)\)

Induktionsschritt:$$\sum\limits_{k=1}^{x+1}k^2 =\frac 16 x(x+1)(2x+1) + \frac16 (x+1)((x+1)+1)(2(x+1)+1)$$

Da komme ich nach Zusammenfassen auf$$\frac 16(4x^3 + 13x^2 + 17x +8)$$oder mit x rausgezogen$$\frac 16 (x(4x² + 13x + 17) + 8)$$

Das sieht schon sehr nach binomischer Formel aus. Leider passen die Zahlen nicht ganz.

Wo ist mein Fehler bzw. wie kommt man an dieser Stelle weiter?

Answer 1

\(\begin{aligned} & \sum_{k=1}^{x+1}k^{2}\\ = & \left(x+1\right)^2+\sum_{k=1}^{x}k^{2}\\ = & \left(x+1\right)^2+\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}\\ = & \dots\\ = & \frac{\left(x+1\right)\left(\left(x+1\right)+1\right)\left(2\left(x+1\right)+1\right)}{6} \end{aligned}\)

Comments

Also war ein Fehler im gesamten Term x durch x+1 zu ersetzen, anstatt nur das k.

Wenn ich bei deiner letzten Zeile die Klammern ausmultipliziere, stehe ich wieder vor dem selben Problem wie oben:

(x(2x² + 9x+ 13) + 6)/6

Das sieht wieder nach binomischer Formel aus, aber die Werte sind nicht geeignet.

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(x(2x² + 9x+ 13) + 6)/6

Weiter umformen bis du einen Ausdruck der Form

        \(ax^3 + bx^2 + cx + d\).

hast.

Den Ausdruck \(\left(x+1\right)^2+\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}\) in die gleiche Form bringen. Dann wirst du feststellen, dass die Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in beiden Fällen gleich sind.

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Danke schonmal für die schnellen Antworten.

Bei der Form war ich.

(2x³ + 9x² + 13x + 6)/6

Um dort hin zu gelangen, kommen wir doch vom Ausdruck \(\left(x+1\right)^2+\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}\)

Also was ist die andere Seite, die wir in diese Form bringen?

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Bei der Form war ich. (2x³ + 9x² + 13x + 6)/6

Weiter umformen ergibt \(\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2+  \frac{13}{6}x+1\), also \(a = \frac{1}{3}, b=\frac{3}{2},c=\frac{13}{6}, d=1\).

Um dort hin zu gelangen, kommen wir doch vom Ausdruck \(\left(x+1\right)^2+\frac{x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)}{6}\)

OK.

Dann den Ausdruck

        \(\frac{\left(x+1\right)\left(\left(x+1\right)+1\right)\left(2\left(x+1\right)+1\right)}{6}\)

in die Form

        \(ax^3 + bx^2 + cx + d\)

bringen. Dann wirst du feststellen, dass die Koeffizienten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in beiden Fällen gleich sind.

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Danke sehr .

Answer 2

Die Induktionsvoraussetzung lautet korrekt "für ein \(x\) gilt...".

\(x\) ist auch keine gute Variable für natürliche Zahlen.

Schreib vor dem Losrechnen die Induktionsbehauptung auch nochmal hin.

Dann siehst Du nämlich, dass deren rechte Seite auch den Faktor \(x+1\) enthält. Der entsteht ja direkt beim Losrechnen auch, daher behält man den schonmal außen vor und multipliziert ihn besser nicht rein, weil man dann die Faktoren nicht mehr (so leicht) sieht.