Formel für inverse Matrix finden

Question

kann mir jemand bitte bei der folgenden Aufgabe helfen?

Finde eine Formel für die inverse Matrix folgender Matrizen:

X=

A	0
B	C

Y=

A	B
0	C

wobei A und C zwei invertierbare Matrizen (wohlmöglich verschiedene Größen) sind.

Ich habe leider keinen Ansatz zu dieser Aufgabe.

Answer 1

siehe : Rechnen mit Blockmatrizen

https://de.wikipedia.org/wiki/Blockmatrix#Multiplikation_von_Blockmatrizen

Und bei X kannst du dann ja mal ansetzen

$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ B & C \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} P & Q \\ R & S \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix}$$

Dann bekommst du z.B. für die obere linke Stelle im Ergebnis

A*P + 0*R = E   also  A*P=E  also P=A^(-1).

oben rechts :

A*Q + 0*S = 0  also A*Q=0   also Q=0

unten rechts

B*Q+C*S=E wegen Q=0 also C*S=E also S=C^(-1)

unten links

B*P+C*R=0

B*A^(-1) + C*R = 0

B*A^(-1) = -C*R   | * C^(-1) von links

C^(-1)*B*A^(-1) = -R

also R = -C^(-1)*B*A^(-1)

Damit ist die Inverse

$$ X^{-1}  =  \begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ -C^{-1} \cdot B \cdot A^{-1} & C^{-1} \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank! Ich werde das nachrechnen

Answer 2

Hallo Melani,

stelle links eine Einheitsmatrix daneben und führe die üblichen Gauß'schen Umformungen durch. (\(E\) ist die Einheitsmatrix)$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E& 0\\ 0& E \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} E & 0 \\ B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1}& 0\\ 0& E \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1}& 0\\ -BA^{-1}& E \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} E & 0 \\ 0 & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^{-1}& 0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1} \end{pmatrix} \\ $$Die erste Zeile mit \(A^{-1}\) multiplizieren, dann die neue erste Zeile (von links) mit \(B\) multiplizieren und von der zweiten abziehen, und zuletzt noch die letzte Zeile (von links) mit \(C^{-1}\) multiplizieren.

Rechts steht nun die Inverse und dann noch die Probe machen:$$\begin{pmatrix} A & 0 \\ B & C \end{pmatrix}  \cdot \begin{pmatrix} A^{-1}& 0\\ -C^{-1}BA^{-1}& C^{-1} \end{pmatrix} \\ \quad = \begin{pmatrix} AA^{-1}-0 & 0 \\ BA^{-1}- CC^{-1}BA^{-1} & 0 + CC^{-1} \end{pmatrix}\\ \quad =\begin{pmatrix} E& 0\\ 0& E \end{pmatrix}$$versuche das mal selber für \(Y\). Zur Kontrolle:$$Y^{-1}= \begin{pmatrix} A^{-1}& -A^{-1}BC^{-1}\\ 0& C^{-1} \end{pmatrix}$$Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

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Dankeschön! Ich werde das nachrechnen und mich bei Fragen melden!