Wie schreibe ich eine Strecke in eine Spur um?

Question

Die Strecke von -L/2 bis L/2 auf der X-Achse sei elektrisch homogen geladen. Stellen Sie diese Strecke als Spur einer Kurve γ dar.

Wie schreibe ich eine Strecke in eine Spur um?

Answer 1

Hallo,

kommt ein wenig drauf an, was man unter 'Spur' versteht. Ich kenne eine Defintion:

Eine parametrisierte Kurve oder kurz Kurve in einem Banachraum \(E\) ist eine stetige Abbildung \(\gamma: \space I \to E\) eines kompakten, nichtleeren Intervalls \(I\) in den Raum \(E\). Ihr Bild, also die Menge $$\gamma(I) = \{\gamma(t):\space t \in I\} \subset E$$heißt die Spur der Kurve in \(E\)

Also nicht anderes als die Strecke in Parameterform anzugeben. Wobei der freie Parameter \(t\) durch ein (hier endliches) Intervall begrenzt ist. Unter der Annahme dass der betrachtete 'Raum' zweidimensional ist, gilt formal:$$\gamma(t) = \begin{pmatrix}-L/2\\ 0\end{pmatrix}(1-t) + \begin{pmatrix}L/2\\ 0\end{pmatrix}t \quad\quad t \in [0;1] \\ \gamma(t) = \begin{pmatrix}-L/2\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}L\\ 0\end{pmatrix} t$$Sollte \(E\) ein (dreidimensionaler) Raum sein, so füge einfach noch eine Koordinate hinzu.

Gruß Werner

Comments

Die Frage wäre nur noch, wie man die Parametrisierung genau aufstellt :)

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Die Frage wäre nur noch, wie man die Parametrisierung genau aufstellt :)

genau so wie es oben in meiner Antwort steht. Wo ist das Problem?

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Mir geht es allgemein darum, wie man so etwas parametrisiert, d.h. wie komme ich darauf?

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Mir geht es allgemein darum, wie man so etwas parametrisiert

Eine allgemeine 'Vorschrift' oder ein bestimmtes Vorgehen gibt es nicht. Das kommt immer auf den Einzelfall an.

Das geht ja schon beim Kreis in der Ebene los. Das kannst Du einmal so machen:$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \vec m + r\begin{pmatrix}\cos(t)\\\sin(t)\end{pmatrix} \quad t \in [0..2\pi)$$oder so$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \vec m + \frac{r}{1+t^2} \begin{pmatrix}1-t^2\\ 2t\end{pmatrix} \quad t \in \mathbb R$$

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OKay, und wie bist du dann für diesen speziellen Fall auf die Parametrisierung gekommen?

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OKay, und wie bist du dann für diesen speziellen Fall auf die Parametrisierung gekommen?

also ich persönlich habe gerade eben die zweite Form bei Wiki nach geschaut, da ich mir das nicht auswendig merken kann ;-)

Aber natürlich kann man da auch 'drauf kommen', z.B. über die Doppelwinkelfunktionen. Setze dazu in der oberen Gleichung \(t \to 2\arctan(t)\). Wobei es noch einen anderen Zugang über NURBS gibt. Das kann ich jetzt aber nicht kurz und knapp erklären.