Ausbreitung von Schädlingsbefall: Bestimmen Sie, in Abhängigkeit des Bestands Qo = Q(0) > 0

Question

Die Ausbreitung von Schädlingsbefall in einem Waldgebiet soll durch Ausbringung eines Schädlingsbekämpfungsmittel bekämpft werden. Die Schädlingpopulation Q(t) vermehrt sich mit einer Wachstumsrate
r > 0. Die Bekämpfung erfolgt durch Ausbringung der Menge m eines Mittels, durch welche das
Wachstum sich wie

Q(mit Punkt darüber) = rQ(t) - m   , t>= 0

verhalt.

(i) Bestimmen Sie, in Abhängigkeit des Bestands Qo = Q(0) > 0 der Schädlingspopulation zum Beginn
der Bekämpfung, den Bestand Q(t) für t >= 0.

(ii) Wie groß muss m mindestens eingestellt werden, damit die Schädlingspopulation über die Zeit nicht
wächst.

(iii) Es seien Q0 = 1000, k = 1 und m = 2000. Nach welchem Zeitpunkt tc wird die Evolution der
Schädlingspopulation nicht mehr realistisch durch (*) beschrieben.

Comments

(i) Q(0) = Q(0) > 0

Wolltest du das so schreiben? Erledigt.

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so soll es heißen: Qo = Q(0) > 0

Answer 1

Der Einfachheit halber verwende ich Q ' (t) für Q(mit Punkt darüber)

(i)

Q ' (t) = r*Q(t) - m

Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:

Umgestellt:

Q ' (t) - r*Q(t)  = - m

Lösung ist Q(t) = Q_h(t) + Q_p(t)        (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)

Homogene DGL:

Q ' (t) - r*Q(t)  = 0  = dQ/dt - r*Q(t)

Trennen der Variablen:

dQ/Q(t) = r  dt

Integrieren:

ln Q(t) = r*t + C

Daraus folgt:

 Q_h(t) = C * e^rt

Partikuläre Lösung:

Variation der Konstanten:

Q (t) = C(t) * e^rt   und  Q ' (t) = C'(t) * e^rt + C(t) * r *e^rt)

Einsetzen in DGL: C'(t) * e^rt + C(t) * r *e^rt) - r* C(t) * e^rt = - m = dC/dt*e^rt

Trennen der Variablen: dC = - m* e^-rt dt

Integrieren:   C (t) = m/r * e^-rt

in Q(t) einsetzen: Q_p(t) =  m/r * e^-rt * e^rt = m/r

Allgemeine Lösung:

Q(t) = c * e^rt + m/r

c bestimmen mit Q(0) = Q₀

Einsetzen in Lösung der DGL:

Q(0) = Q₀ = c * e^r*0 + m/r

Also: c = Q₀ - m/r
 

Spezielle Lösung:

Q(t) = (Q₀ - m/r) * e^rt + m/r

 

(ii)

Kein Wachstum der Schädlingspopulation bedeutet Q ' (t) = 0

Q ' (t) = (Q₀ - m/r)*r * e^rt = 0

(Q₀ - m/r)*r = 0

m = r*Q₀

m muss also mindestens so groß sein wie r*Q₀, damit die Schädlingspopulation nicht wächst.

 

(iii)

Ich treffe folgende Annahmen: Mit k ist r gemeint und mit (*) die Lösung der DGL.

Mit den Werten ergibt sich Q(t) zu:

Q(t) = (1000 - 2000) * e^t + 2000 = -1000 * (e^t - 2)

Die Beschreibung der Schädlingspopulation ist nicht mehr realistisch, wenn Q(t) < 0 wird, weil es keine Negativpopulation gibt.

Folglich ist t_c die Nullstelle der Funktion Q(t).

0 = -1000 * (e^t - 2)

0 = e^t - 2

2 = e^t

t_c = ln 2 ≈ 0,69

Nach ca. 0,69 Zeiteinheiten beschreibt die Funktion Q(t) die Schädlingspopulation nicht mehr realistisch.