Der Einfachheit halber verwende ich Q ' (t) für Q(mit Punkt darüber)
(i)
Q ' (t) = r*Q(t) - m
Inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung:
Umgestellt:
Q ' (t) - r*Q(t) = - m
Lösung ist Q(t) = Qh(t) + Qp(t) (Lösung der homogenen Gleichung + partikuläre Lösung)
Homogene DGL:
Q ' (t) - r*Q(t) = 0 = dQ/dt - r*Q(t)
Trennen der Variablen:
dQ/Q(t) = r dt
Integrieren:
ln Q(t) = r*t + C
Daraus folgt:
Qh(t) = C * ert
Partikuläre Lösung:
Variation der Konstanten:
Q (t) = C(t) * ert und Q ' (t) = C'(t) * ert + C(t) * r *ert)
Einsetzen in DGL: C'(t) * ert + C(t) * r *ert) - r* C(t) * ert = - m = dC/dt*ert
Trennen der Variablen: dC = - m* e-rt dt
Integrieren: C (t) = m/r * e-rt
in Q(t) einsetzen: Qp(t) = m/r * e-rt * ert = m/r
Allgemeine Lösung:
Q(t) = c * ert + m/r
c bestimmen mit Q(0) = Q0
Einsetzen in Lösung der DGL:
Q(0) = Q0 = c * er*0 + m/r
Also: c = Q0 - m/r
Spezielle Lösung:
Q(t) = (Q0 - m/r) * ert + m/r
(ii)
Kein Wachstum der Schädlingspopulation bedeutet Q ' (t) = 0
Q ' (t) = (Q0 - m/r)*r * ert = 0
(Q0 - m/r)*r = 0
m = r*Q0
m muss also mindestens so groß sein wie r*Q0, damit die Schädlingspopulation nicht wächst.
(iii)
Ich treffe folgende Annahmen: Mit k ist r gemeint und mit (*) die Lösung der DGL.
Mit den Werten ergibt sich Q(t) zu:
Q(t) = (1000 - 2000) * et + 2000 = -1000 * (et - 2)
Die Beschreibung der Schädlingspopulation ist nicht mehr realistisch, wenn Q(t) < 0 wird, weil es keine Negativpopulation gibt.
Folglich ist tc die Nullstelle der Funktion Q(t).
0 = -1000 * (et - 2)
0 = et - 2
2 = et
tc = ln 2 ≈ 0,69
Nach ca. 0,69 Zeiteinheiten beschreibt die Funktion Q(t) die Schädlingspopulation nicht mehr realistisch.