Riemann-Integral von sqrt(1-x^2) mit Substitution x=sin(t) berechnen.

Question

wir sollen das Riemann-Integral sqrt(1-x^2) von -1 bis 1 bestimmen, also den Halbkreis.

dazu sollen wir die Substitution x=sin(t)=:g(t) und die Identität (cos^2)t=(1/2)*(1+cos2t) des Additionstheorem verwenden.

Answer 1

Hi,

mit den Tipps hast Du eigentlich schon fast die Lösung dastehen :D.

$$\int \sqrt{1-x^2}\; dx$$

Subst. \(x = \sin(u)\) und \(dx = \cos(u)du\)

$$= \int \sqrt{1-\sin(u)^2}\cdot\cos(u)\; du = \int \cos^2(u)\; du$$

Mit dem zweiten Tipp:

$$= \int \left(\frac12\cos(2u)+\frac12\right)\; du$$

$$= \frac u2 + \frac14\sin(2u) = \frac12(\sqrt{1-x^2}\cdot x + arcsin(x))$$

Grenzen einsetzen:

$$\to \frac{\pi}{2}$$

Dass das passt ist ja bekannt. Werden also wohl richtig gerechnet haben ;).

Grüße