Zeigen Sie also mit Hilfe von (*), dass für alle n ∈ N gilt:

Question

Aufgabe:

Benutzen Sie die folgende (hier nicht beweisen, aber relativ leicht einzusehende) Beziehung für die RencontresZahlen:

D_n =(n-1) . (D_n-1 + D_n-2 ) (*).

Zeigen Sie also mit Hilfe von (*), dass für alle n ∈ N gilt:

Text erkannt:

\( D_{n}=n ! \sum \limits_{r=0}^{n} \frac{(-1)^{r}}{r !} \)

(Hinweis: Es ist D₀ = 1 und D₁ = 0. Beachten Sie, dass (*) wegen des Faktors (n - 1) auch für n =1 gültig ist, egal wie wir D_-1 definieren würden. Betrachten Sie dann zunächste die Zahlen

A_n = D_n -nD_n-1 (**)

und zeigen, dass A_n = (-1)ⁿ gilt. Teilen Sie dann beide Seiten von (**) durch n! und schließen Sie daraus auf die Behauptung.)

Ich BITTE BITTE Sie, dass Sie mir bei dieser Frage helfen. Ich kann die Aufgabe nicht lösen :"(

Comments

Ich bitte euch! Diese Aufgabe ist sehr wichtig für mich. Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen kann.

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Kein Kommentar :( :( :(

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An= (n-1) ( Dn-1 + Dn-2) - n Dn-1

=(n-1) Dn-1 + (n-1) Dn-2 - n Dn-1

= n Dn-1 - Dn-1 + (n-1) Dn-1 - n Dn-1

= -( Dn-1 - (n-1) Dn-2 )

= - An-1

Mit A1 = 0 - 1*1 = -1

Folgt An = (-1)^n

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Ich danke dir mehrmals.

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Ich verstehe den Zusammenhang mit dem Bild oben nicht ganz genau!!!

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Du könntest jetzt z.B. eine Induktion über n durchführen um die Formel für Dn zu beweisen

n= 0: 0! * (-1)^0/0! = 1 stimmt nach Angabe

Sei also \( D_n = n! \sum_{r=0}^n \frac{(-1)^r}{r!} \) für ein n.

Dann willst du zeigen, dass \( D_{n+1} = (n+1)! \sum_{r=0}^{n+1} \frac{(-1)^r}{r!} \)

Wie bereits gezeigt ist

\( D_{n+1} = A_{n+1} + (n+1) \cdot D_n \)

Tipp es ist

\( (-1)^{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)!} (-1)^{n+1}  \)

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Achsooo, nun hab ich das verstanden. Dankeschön :)

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Es geht noch weiter oder?

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Ich komme nicht weiter. Ich bin einfach hingeblieben. :(. Ich verstehe es einfach nicht, wie es weiter geht. Ich bin komplet lost.

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@MatHaeMatician bitte Hilf mir!!!!

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Was soll ich da jetzt noch helfen. Du musst in die letzte Gleichung einfach An+1 und Dn einsetzen, dann den Tipp verwenden, (n+1)! Ausklammern und Summe zusammenfassen. Fertig.