Matrizen, Rang beweisen

Question

Sei Z ∈ Mat n×n(K) mit Z^2= 0. Beweisen Sie,

dass rk(Z) ≤ [n/2]
Kann mir bitte jemand ausführlich Aufschreiben wie ich das beweisen kann ?

Answer 1

Sei \(d:=\dim(Kern(Z))\). Für \(rk(Z)=\dim(Bild(Z))\) gilt

nach dem Dimensionssatz \(n=d+rk(Z)\quad (*)\)

\(y\in Bild(Z)\Rightarrow y=Zx\) für ein \(x\in K^n\),

also \(Zy=Z(Zx)=Z^2x=0x=0\). Also hat man \(Bild(Z)\subseteq Kern(Z)\),

folglich \(rk(Z)\leq d\).

\((*)\Rightarrow n=d+rk(Z)\geq 2rk(Z)\Rightarrow rk(Z)\leq n/2\)

und da \(rk\) ganz ist: \(rk(Z)\leq [n/2]\)

Answer 2

Man nehme an, der Rang der Matrix sei \( \geq[n / 2]+1 \), also \( \operatorname{dim}(\operatorname{im}(\mathbf{Z})) \geq[n / 2]+1 . \) Dann gilt wegen der Dimensionsformel \( \operatorname{dim}(\operatorname{ker}(\mathbf{Z})) \leq n-1-[n / 2] \), und somit gilt

\(\begin{aligned} D:= (\mathbb{R}^{n} \backslash \operatorname{ker}(\mathbf{Z})) \cap \operatorname{im}(\mathbf{Z}), \quad \operatorname{dim}(D) \geq 1\end{aligned} \)
Somit gibt es ein Element \( \mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \mathbf{Z v} \in D \) und da \( \mathbf{Z v} \notin \operatorname{ker}(\mathbf{Z}) \) haben wir \( \mathbf{Z}(\mathbf{Z v}) \neq 0 \), was ein Widerspruch ist (der Rang von \(\mathbf{Z}\) muss somit \(\le[n/2]\) sein).

Intuitiv und informell gesprochen: Im obigen Widerspruchsbeweis ist das Bild der Matrix grösser als die "Hälfte" des \(\mathbb{R}^n\), und daher gibt es irgendeinen Vektor, der nach der linearen Transformation, welche \(\mathbf{Z}\) darstellt, nicht in den Kernel von \(\mathbf{Z}\) gemapt wird, wenn wir also \(\mathbf{Z }\) nochmal auf diesen Anwenden, bekommen wir einen Vektor, welcher ungleich Null ist.