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Die Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das ihre Reihen- oder Zeilenvektoren aufspannen. Wenn dieses Volumen \(=0\) ist, kann es nicht mehr \(n\)-dimensional sein. Die Matrix hat dann also nicht mehr den vollen Rang.
Gesucht sind hier also die Werte für \(x\), die die Determinante zu \(0\) machen. Die Determinante kann man schnell nach der mittleren Zeile entwickeln:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}3 & x & 2\\1 & 0 & 1\\x & 6 & 1\end{array}\right|=-(x-12)-(18-x^2)=x^2-x-6=(x-3)(x+2)$$Für \(x=-2\) oder \(x=3\) hat die Matrix einen Rang kleiner als \(3\).