Aloha :)
Der entscheidende Hinweis ist hier "unter Beibehaltung des Niveaus". Das heißt, obwohl sich \(x\) und \(y\) ändern, soll sich \(F(x;y)\) nicht ändern. Das heißt, das totale Differential ist hierbei \(=0\).$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy$$$$\phantom{0}=e^{0,15x-0,15y-0,1xy}(0,15-0,1y)\,dx+e^{0,15x-0,15y-0,1xy}(-0,15-0,1x)\,dy$$Da die \(e\)-Funktion nie \(=0\) wird, können wir durch sie auf beiden Seiten dividieren:$$0=(0,15-0,1y)\,dx+(-0,15-0,1x)\,dy$$$$(0,15-0,1y)\,dx=(0,15+0,1x)\,dy$$$$dx=\frac{0,15+0,1x}{0,15-0,1y}\,dy$$Jetzt haben wir allgemein ausgerechnet, wie sich \(x\) bei einer Änderung von \(y\) verändern muss, damit \(F(x;y)\) gleich bleibt.
Speziell am Punkt \((1;2,3)\) erhalten wir:$$dx=\frac{0,15+0,1\cdot1}{0,15-0,1\cdot2,3}\,dy=\frac{0,25}{-0,08}=-\frac{25}{8}\,dy$$Bei einer Erhöhung von \(y\) um \(1\) Einheit, muss also \(x\) um \(3,125\) Einheiten vermindert werden, damit das Niveau von \(F\) beibehalten wird.
