Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des ersten Arguments bei Erhöhung des zweiten Arguments...!

Question

Aufgabe:

y=x₂
x=x₁  

Gegeben sei die Funktion
F(x1,x2)=e^{0.15x - 0.15y -0.1xy}
Bestimmen Sie die momentane Änderungsrate des ersten Arguments bei Erhöhung des zweiten Arguments um eine marginale Einheit an der Stelle a=(1,2.3) und unter Beibehaltung des Niveaus der Funktion F(a).

Problem/Ansatz:

Hi, ich muss obige Aufgabe lösen, weiß jedoch nicht wie. Kann mir jemand helfen? :-)

Answer 1

Aloha :)

Der entscheidende Hinweis ist hier "unter Beibehaltung des Niveaus". Das heißt, obwohl sich $x$ und $y$ ändern, soll sich $F(x;y)$ nicht ändern. Das heißt, das totale Differential ist hierbei $=0$.$$0\stackrel!=dF=\frac{\partial F}{\partial x}\,dx+\frac{\partial F}{\partial y}\,dy$$$$\phantom{0}=e^{0,15x-0,15y-0,1xy}(0,15-0,1y)\,dx+e^{0,15x-0,15y-0,1xy}(-0,15-0,1x)\,dy$$Da die $e$-Funktion nie $=0$ wird, können wir durch sie auf beiden Seiten dividieren:$$0=(0,15-0,1y)\,dx+(-0,15-0,1x)\,dy$$$$(0,15-0,1y)\,dx=(0,15+0,1x)\,dy$$$$dx=\frac{0,15+0,1x}{0,15-0,1y}\,dy$$Jetzt haben wir allgemein ausgerechnet, wie sich $x$ bei einer Änderung von $y$ verändern muss, damit $F(x;y)$ gleich bleibt.

Speziell am Punkt $(1;2,3)$ erhalten wir:$$dx=\frac{0,15+0,1\cdot1}{0,15-0,1\cdot2,3}\,dy=\frac{0,25}{-0,08}=-\frac{25}{8}\,dy$$Bei einer Erhöhung von $y$ um $1$ Einheit, muss also $x$ um $3,125$ Einheiten vermindert werden, damit das Niveau von $F$ beibehalten wird.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

D.h., hier müsste ich dann als Antwort -3.13 (auf 2 Nachkommastellen runden) angeben?

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Ja, wenn du auf zwei Nachkommastellen runden sollst.

Das Problem ist nur, dass nach kaufmännischem Runden $(-3,13)$ herauskommt, aber nach mathematischem Runden $(-3,12)$. Vermutlich wird hier aber kaufmännisch gerundet, weil es ja irgendwie um Wirtschaft geht.

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Vielen Dank, -3.13 war richtig. :-)

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Die Aufgabe kommt von einem Volkswirtschaftiker. Die runden nie kaufmännisch. Wahrscheinlich ist Toleranz eingebaut.

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@döschwo Doch, hier wurde kaufmännisch gerundet und es war korrekt.

Answer 2

1/e^109/50 = e^{0.15x - 0.15y - 0.1xy} nach x umformen und nach y ableiten

Comments

Wie kommen sie auf 1/e^109/50  ?

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Das ist F(a).

Quasi die Höhenlinie, wäre die Funktion ein Berg der auf einer Karte eingezeichnet ist.

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Ach so und wie komme ich mathematisch darauf? Bzw. was muss ich tuen, wenn ich nach x umgeformt und y abgeleitet habe?

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Dann kannst Du aufhören :)

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Jetzt sitze ich auf der Leitung... d.h. ich brauch a (1; 2,3) überhaupt nicht?

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Du kannst dann y = 2.3 im Ergebnis einsetzen, um die Steigung an dieser Stelle auszurechnen.

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Hatte mich im ersten Rechenschritt vertippt, sorry. Gleichbleibendes Niveau F(a) ergibt

1/e^17/40 = e^{0.15x - 0.15y - 0.1xy}

Das aufgelöst nach x ist

x = (-6y + 17) / (4y - 6)

und abgeleitet nach y

-8 / (2y - 3)²

wo man y = 2.3 einsetzen kann und -3.125 erhält.

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wie kommt man auf 1/e¹⁷/40

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Siehe oben, das ist F(a). Aber diesmal halt richtig.