Aloha :)
Wir sollen die Funktion$$f(x)=2x+6$$im Bereich von \(x=-2\) bis \(x=-1\) um die \(x\)-Achse rotieren lassen. Zum Verständis greifen wir uns einen \(x\)-Wert aus diesem Bereich heraus. Der Funktionwert \(f(x)\) rotiert nun um die \(x\)-Achse. Dabei entsteht eine Kreisfläche senkrecht zur \(x\)-Achse. Der Mittelpunkt dieser Kreisfläche liegt auf der \(x\)-Achse und der Radius des Kreises ist gleich dem Funktionswert \(r=f(x)\). Die Fläche dieses Kreises ist daher \(\pi\,r^2=\pi\,[f(x)]^2\).
Wir müssen nun alle diese Kreisflächen im Bereich von \(x=-2\) bis \(x=-1\) addieren, um das entstandene Volumen zu bestimmen:$$V=\int\limits_{x=-2}^{-1}\pi\,[f(x)]^2\,dx=\int\limits_{x=-2}^{-1}\pi(2x+6)^2dx=\pi\left[\frac16(2x+6)^3\right]_{x=-2}^{-1}=\frac\pi6\left(64-8\right)=\frac{28}{3}\pi$$
