Question

Zeigen Sie, dass die durch die folgenden Vorschriften definierten Folgen (xn)n∈N konvergent sind, und bestimmen Sie jeweils den Grenzwert limn→∞ xn.

$$(a) xn :=\frac{6\sqrt{4n^{3} + 1}(n − 1)^{3}}{\sqrt{n}(2n + 3)^{2}\sqrt{5n + 9n^{4}}} $$

$$(b) xn :=\frac{1}{n +\sqrt{1+\sqrt{n}}}$$

$$(c) xn := (\frac{n-1}{2n})^{n}$$

$$(d) xn := \sqrt{n + 1 } −\sqrt{n} $$

Answer 1

c) \( (\frac{n-1}{2n})^{n} = (\frac{1}{2} \cdot (1-\frac{1}{n}))^n = (\frac{1}{2})^n \cdot (1-\frac{1}{n})^n  \)

Der erste Faktor geht gegen 0 , der zweite gegen e^(-1), also Grenzwert 0.

d) Setze unter den Term den Nenner 1 und erweitere mit der Summe der Wurzeln.