Question

Sei V ein F-Vektorraum. Ein Endomorphismus P : V → V heißt Projektion, falls P² = P gilt.
Sei P eine Projektion, zeigen Sie:
(a) Ran P = {v ∈ V | P(v) = v}.

(b) V = Ran P ⊕ Ker P (:⇔ Ran P + Ker P = V ∧ Ran P ∩ Ker P = {~0}).

(c) 1 − P := 1V − P ist eine Projektion, wobei 1_V : V → V, v ↦ v die Identitätsabbildung auf V notiert.

Answer 1

a) Sei v∈Ran(P). ==> Es gibt x∈V mit P(x)= v  #

                                         ==>    P(P(x)) =  P(v)

wegen P^2 = P also                        P(x) = P(v)

wegen #    somit auch    v = P(v) .

Sei andererseits v∈V mit P(v)=v dann ist offenbar v∈Ran(P),

weil es ein x (nämlich das v) gibt mit P(x)=v.

b)  Sei v∈V. Dann gilt v = v - p(v) + p(v)

Es ist p(v) aus Ran(p)  und

es ist v-p(v) aus dem Kern, denn p(v-p(v)) = p(v) - p(p(v)) 

     wegen Projektion also   = p(v) - p(v) = 0.

Somit gilt Ran P + Ker P = V  und  Ran P ∩ Ker P = {0}

sieht man so. Sei v∈Ran P ∩ Ker P

==>  Es gibt ein x∈V mit p(x)=v (wegen Ran P)

                         und   p(v)=0   (wegen Kern )

Dann folgt aus p(x)=v erst mal  p(p(x)) = p(v)

( wegen Proj.)                 p(x) = p(v) 

         wegen v aus Kern p(x)=0

            wegen p(x)=v also   v=0 .

c)  1-P ist eine Projektion bedeutet (1-P)^2 = 1-P .

Sei also v∈V. Dann gilt (1-p)(v) = v - p(v).

und (1-p)^2 (v) = (1-p)((1-p)(v))

                     = (1-p)( v-p(v) )

                    = v - p(v) - p(v-p(v))

                     = v - p(v) - ( p(v) -p(p(v))   )

wegen Proj. also =v - p(v) - ( p(v) -(p(v) ) = v - p(v) -0 = v-p(v)=(1-p)(v). q.e.d.