Bestimmen Sie alle α ∈ R so, dass die Funktion stetig ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle α ∈ R so, dass die Funktion

\( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto\left\{\begin{array}{ll}\frac{1+\sqrt{x}}{2-x}, & x \leq 1, \\ \frac{x^{3}-\alpha^{2} x}{x-1}, & x>1\end{array}\right. \)

stetig ist.

Problem/Ansatz:

Ich hab leider überhaupt keine Ahnung, wie man das machen soll. Ich brauche da dringend Hilfe

Answer 1

Problempunkt ist bei x=1 . Ansonsten ist sie wegen Übereinstimmung mit

rationalen Funktionen überall stetig.

Linksseitiger Grenzwert bei x=1 ist 2

auch f(1)=2 und für rechtsseitigen betrachte für h>0:

\(  f(1+h) = \frac{(1+h)^3 - α^2 (1+h) }{1+h-1} =  \frac{1- α^2+(3- α^2)h +3h^2 + h^3 }{h}   \)

\( =  \frac{1- α^2 }{h}  + (3- α^2) +3h + h^2  \)

Damit es für h gegen 0 einen Grenzwert hat, muss 1-α^2 = 0

sein, aber dann ist der Grenzwert nicht 2 sondern 3.

Also gibt es wohl kein solches α.

Comments

Nabend,
danke für die schnelle Antwort aber woher kommt das h? Also ich verstehe diesen Punkt nicht.

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Wenn ich rechts von der Stelle 1 bin, dann ich bin ich ja einer

Stelle 1+h mit positivem h.

Und wenn h gegen 0 geht, erhalte ich den rechtsseitigen

Grenzwert der Funktion an der Stelle 1.