Betrachte den Fall : a monoton steigend.
(fallend geht entsprechend.)
Da b konvergent ist, ist b auch nach oben beschränkt.
Es gibt also ein C∈ℝ mit bn ≤ C für alle n∈ℕ.
Dann ist auch a nach oben beschränkt durch C;
denn angenommen es gäbe ein k∈ℕ mit ak > C
dann ist entweder ak auch Glied der Teilfolge, was aber nicht
sein kann, da ja ak > C und b durch C nach oben beschränkt ist,
oder es gibt einen Index i>k mit ai ist Glied der Folge b.
Wegen des monotonen Steigens ist aber ai ≥ak , also
ergibt sich auch hier ein Widerspruch zur
Beschränktheit von b.
Somit ist a monoton steigend und nach oben beschränkt,
also konvergent.