Zeige: Ist a monoton und b konvergent, dann ist auch a konvergent.

Question

Aufgabe:Seien a eine Folge reeller Zahlen und b eine Teilfolge von a. Zeige: Ist a monoton und b konvergent, dann ist auch a konvergent.

Answer 1

Betrachte den Fall : a monoton steigend.

(fallend geht entsprechend.)

Da b konvergent ist, ist b auch nach oben beschränkt.

Es gibt also ein C∈ℝ mit  bn ≤ C für alle n∈ℕ.

Dann ist auch a nach oben beschränkt durch C;

denn angenommen es gäbe ein  k∈ℕ mit a_k > C

dann ist entweder a_k auch Glied der Teilfolge, was aber nicht

sein kann, da ja a_k > C und b durch C nach oben beschränkt ist,

oder es gibt einen Index i>k mit a_i ist Glied der Folge b.

Wegen des monotonen Steigens ist aber a_i ≥a_k , also

ergibt sich auch hier ein Widerspruch zur

Beschränktheit von b.

Somit ist a monoton steigend und nach oben beschränkt,

also konvergent.