Berechne den Ausdruck pi hoch2020

Question

Aufgabe:

Berechne den Ausdruck pi hoch2020
n=1 i hoch n

wie kann man am besten lösen ?

Vielen dank im voraus

Comments

Berechne den Ausdruck pi hoch2020
n=1 i hoch n

Das ist insgesamt unverständlich. Was hat das eine mit dem anderen zu tun?
Kontext?

pi^2020:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=pi%5E2020

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pi2020 neben pi steht n=1 und i hoch n da es um ausdruck handelt ,die berechen soll

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Ist da auch noch ein Summenzeichen? Oder ein "e hoch ..."

???

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Kannst du ein Foto der Aufgabe schicken?

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Ja gerne aber wie kann ich die foto schicken ?

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∏2020 n=1 i hoch n  Ja gerne aber wie kann ich die foto schicken ?

2020 ist hoch ∏ so sieht die aufgabe aus

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Deine Beschreibung reicht :

\( \prod_{n=1}^{2020}{i^n} =-1\)

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Wozu soll so etwas gut sein? Vorkommen?

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Danke kannst du mir wie du zu diese lösung gekommen bist

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Wozu soll so etwas gut sein?

Es trennt die Spreu vom Weizen.

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was meinst du ?

Ich wolte wissen wie die summe bzw. ausdruck gelöst wurde

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Wozu soll so etwas gut sein? Vorkommen?

Diese inhaltlich eigentlich sehr simple Aufgabe ist ein Indikator dafür, ob man Potenzen komplexer Zahlen (Betrag, Argument und die zugehörigen Regeln...) verstanden hat.

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Es trennt die Spreu vom Weizen.

Dann bleib ich gerne lieber Streu.

Wer die Sinnhaftigkeit nicht erklären kann oder will, sollte besser schweigen.

Schlechte, demotivierende oder fragwürdige Pädagogen gibt es unter Mathematikern ohnehin genug.

Dazu zähle ich auch Weizen-hj ...

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Wozu soll so etwas gut sein? Vorkommen?

Diesen Spruch höre ich gelegentlich. Allerdings meist von Schülern, die nicht die Bohne interessiert, wofür das gebraucht wird. Es sieht unbekannt oder "schwer" aus, und deshalb stellt man die Frage in der Hoffnung, dass einem jemand sagt, dass das eigentlich doch nicht so wichtig ist.

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Wozu soll so etwas gut sein? Vorkommen?

Das sind absolute Grundlagen. Arbeiten mit dem Produktzeichen, sinnvolles Gruppieren von Faktoren/Summanden.

Wer das nicht beherrscht kommt nicht weit.

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Das Produktzeichen ∏ kommt in der Schule ganz am Rande vor oder gar nicht.

Es gibt weit offenbar Wichtigeres.

Dass es in der Wirtschaft und Technik besonders wichtig sein soll, ist mir nicht bekannt.

Hast du Beispiele`?

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in der Schule

Wer interessiert sich denn dafür, was in Schulen vorkommt und was nicht?

Und wen interessiert es, ob es in Wirtschaft oder Technik vorkommt?

Das Produktzeichen liefert eine übersichtliche und klare Notation für große Produkte. Die Aufgabe übt den Umgang mit dieser Notation, ein tiefgehender Sinn steckt da nicht dahinter.

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Und wen interessiert es, ob es in Wirtschaft oder Technik vorkommt?

Mich z.B.
Denn dort wird das Geld verdient, von dem die beamteten Mathelehrer und Professoren
bezahlt werden.

Answer 1

Hallo

Wenn du das Produktzeichen nicht von der transzendenten Zahl π unterscheiden kannst ist etwas schief gelaufen!

schreib die ersten paar Potenzen von i auf dann siehst du sofort was das Produkt ist, es ist nur marginal schwieriger als \( \prod_{n=1}^{2020}{1^n} \) auszurechnen.

Gruß lul

Comments

von der transzendenten Zahl π unterscheiden kannst

Der Fragesteller hat nirgendwo von dieser Zahl gesprochen, das war Gast2016

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Hallo Gast hj..

wenn jemand pi und nicht Produkt schreibt, denkst du er kennt den Unterschied zwischen π und ∏? du Optimist!

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Berechne den Ausdruck pi hoch2020
n=1 i hoch n

Hier ist von pi = π klar die Rede.

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Zitat Fragesteller :  ∏2020 n=1 i hoch n
Hier kann man doch nur mit bösem Willen die Zahl π sehen.

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Zitat Fragesteller : ∏2020 n=1 i hoch n
Hier kann man doch nur mit bösem Willen die Zahl π sehen.

Keineswegs! es gibt genug Schüler, die würden im linken Symbol eher das Sonnentor der Inkas erkennen, als das Produkt-Zeichen. Und auch nicht deshalb, weil diese Schüler in Geschichte besser aufpassen als in Mathe, sondern weil das Sonnentor in einer Micky-Maus-Geschichte vorkommt.

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Empathie ist vieler Mathematiker Ding nicht. Sie gehen von sich und ihren Selbstverständlichkeiten aus und übersehen zentrale psychologische Aspekte

wie Motivation, Vergessen, Missverständnisse, entwicklungsbedingte Probleme

und v.a. gesellschaftliche Faktoren, die das konzentrierte Lernen zusehends

schwieriger machen.

Guter Matheunterricht ist eine hohe Kunst, die mMn die Mehrheit der

Mathelehrer nicht wirklich beherrscht v.a. mangels Empathie.

Der Zeitdruck tut ein Übriges, Corona gibt manchem den letzten Rest.

Wem es nicht gelingt, Sinn für sein Tun und die Lerninhalte zu vermitteln, kann nur scheitern und trägt dazu bei, dass Mathe für die Mehrheit der Schüler:innen

ohne freudloses Fach ist. Er mag damit seine Pflicht erfüllen können, aber mehr

auch nicht. Mich würde das nicht befriedigen.

Answer 2

i^1 * i^2 * i^3 * ... * i^2020

= i^2041210

= i^2041208 * i^2 = 1 * (-1) = - 1

Comments

Hallo Mathecoach,

dass i² = -1 ist, kann ja vielleicht als bekannt vorausgesetzt werden oder zumindest nachgelesen werden, aber ist das auch bei i^2041208 = 1 so? ;-)

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Vielleicht hilft dir eine Faktorzerlegung weiter.

2041208 = 2^3·13·19·1033

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Vielleicht hilft dir eine Faktorzerlegung weiter.

Vielen Dank, mir hilft das zwar nicht weiter, aber ich denke, der Fragesteller wird wissen, wie  2041208 in 2³·13·19·1033 zerlegt wird und dass i ^{8·13·19·1033} = 1 ist.

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der Fragesteller wird wissen, wie 2041208 in 23·13·19·1033 zerlegt wird und dass i 8·13·19·1033 = 1 ist.

.. was gar nicht nötig ist. Man muss nur wissen, dass $$2041208 \equiv 0 \mod 4$$ist, und dies folgt bereits aus den letzten beiden Ziffern \((\dots 08)\) der Zahl.

Weiter gilt$$i^{4k} = 1 \quad \forall k \in \mathbb Z$$und das folgt aus der Defintion von \(i\)$$i^2 = -1 \implies i^{4k}  = \left(\left(i^2\right)^2\right)^k = \left((-1)^2\right)^k=1^k=1$$

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Hallo Werner,

ich lehne mich jetzt mal interpretatorisch weit aus dem Fenster. Der Kommentar:

aber ich denke, der Fragesteller wird wissen, wie 2041208 in 23·13·19·1033 zerlegt wird und dass i ^{8·13·19·1033} = 1 ist.

war mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit ironisch gemeint.

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Ich hoffe das der Fragesteller weiß wie man eine Faktorzerlegung macht.

2041208 = 2^3·13·19·1033

Und dass es ein Potenzgesetz gibt, welches besagt

a^{m·n} = (a^m)^n

also

(i^{2^2})^{2·13·19·1033}

Wenn man jetzt weiß das i^4 = 1 gilt, bleibt nur noch die Frage wie man schnell erkennen kenn das bei einer Faktorzerlegung 4 auftritt. Das wäre der Fall, wenn die Zahl durch 4 teilbar ist und das ist der Fall, wenn die Zahl aus den letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar ist.

Answer 3

\(\begin{aligned} & \prod_{n=1}^{2020}\mathrm{i}^{n}\\ = & \mathrm{i}^{\sum_{n=1}^{2020}n}\\ = & i^{\frac{2020\cdot2021}{2}}\\ = & i^{4\cdot510302+2}\\ = & \left(i^{4}\right)^{510302}\cdot i^{2}\\ = & 1^{510302}\cdot\left(-1\right)\\ = & -1 \end{aligned}\)