Abbildung auf Injektivität, Bijektivität und Surjektivität untersuchen R-->R+: x-->x^2+1

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen jeweils auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität und \( \mathbb{K} \)-Linearität für \( \mathbb{K}=\mathbb{R} \) und für \( \mathbb{K}=\mathbb{C} \).

(a) \( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}: x \mapsto x^{2}+1 \)

Hinweis: Eine Abbildung \( f: V \rightarrow W \) zwischen \( \mathbb{K} \)-Vektorräumen \( V \) und \( W \) heißt \( \mathbb{K} \)-linear, falls \( f(u+v)=f(u)+f(v) \) und \( f(k v)=k f(v) \) für alle \( u, v \in V \) und alle \( k \in \mathbb{K} \) gelten.

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Abbildung$$f_1\colon\mathbb R\to\mathbb R^+\,,\,f(x)=x^2+1$$Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^+\) höchstens 1-mal getroffen wird.

Wegen \(f_1(-1)=2\) und \(f_1(1)=2\), wird das Zielelement \(2\) mehr als 1-mal getroffen, sodass die Abbildung nicht injektiv ist.

Surjektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^+\) mindestens 1-mal getroffen wird.

Wegen \(f(x)\ge1\) für alle \(x\in\mathbb R\) wird z.B. das Element \(\frac12\in\mathbb R^+\) aus der Zielmenge nicht getroffen. Die Abbildung ist also auch nicht surjektiv.

Bijektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R^+\) genau 1-mal getroffen wird. Das ist genau dann der Fall, wenn eine Funktion sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Hier trifft keins von beiden zu, sodass die Abbildung hier auch nicht bijektiv ist.

Zur Untersuchung der Linearität, solltest du dir klar machen, dass eine lineare Abbildung die Null immer auf die Null abbilden muss, denn für lineare Funktionen gilt:$$f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)\quad\stackrel{-f(0)}{\implies}\quad f(0)=0$$Hier ist jedoch \(f_1(0)=0^2+1=1\ne0\). Die Funktion ist also auch nicht linear.