Lösungsschritte zur Parameterdarstellung

Question

\( U:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:|x| \leq 2,|y| \leq 2, y \leq 3-x^{2}\right\} \)

Die obige Menge soll stückweise auf die unten stehende Parameterdarstellung gebracht werden. Wie sind hierfür die Lösungssschritte, bzw. wie gehe ich hierbei am geschicktesten vor?

\( u(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1-t, 2)^{T}, & t \in[0,2] \\ \left(1-t, 3-(1-t)^{2}\right)^{T}, & t \in[2,3] \\ (-2,2-t)^{T}, & t \in[3,4] \\ (t-6,-2)^{T}, & t \in[4,8] \\ (2, t-10)^{T}, & t \in[8,9] \\ \left(11-t, 3-(11-t)^{2}\right)^{T}, & t \in[9,10]\end{array}\right. \)

Answer 1

Der Rand der Figur sieht so aus:

Das sind 6 verschiedene Teilstücke 1 bis 6, deren Parametrisierung dann in dieser Reihenfolge in der von oben nach unten aufgeführten Form passiert.

Berechne zur Kontrolle mal die konkreten Punkte für die Parameterwerte 0, 1, 2, 3, ...,10 und trage sie in die Abbildung ein.

Answer 2

Hallo,

Wie sind hierfür die Lösungssschritte, bzw. wie gehe ich hierbei am geschicktesten vor?

als erstes ist es nie verkehrt, eine Zeichnung anzufertigen. Nimm Dir also ein Blatt Papier (oder ein geeignetes Tool) mit einem Koordinatensysten und zeichne die angegebenen Teilbereiche ein:

https://www.desmos.com/calculator/sirpv1tpnt

Der Bereich, um den es geht, ist der, der von allen drei Teilbereichen abgedeckt ist. Im nächsten Schritt berechne alle relevanten Punkte, wo eine Begrenzung in eine andere übergeht:

https://www.desmos.com/calculator/bymji4pkp1

Dann resultieren daraus die sechs Teilabschnitte, die den Bereich nach außen begrenzen. Und diese sollen nun parametriert werden, und zwar mit einem fortlaufenden Wert für den Parameter \(t\).

Das erste Stück soll von \(P_0(1,\,2)\) nach \(P_1(-1,\,2)\) laufen und \(t\) dabei von \(0\) bis \(2\). Wobei diese \(2\) willkürlich gewählt ist, das könnte auch jeder andere Wert \(\gt 0\) sein. Der Y-Wert ist hier fest \(y=2\) und das \(x\) läuft von \(x=1\) bis \(x=-1\). Also ist eine Funktion \(x(t)\) gesucht, für die gilt$$x(t=0)=1, \quad x(t=2)=-1$$Im einfachsten Fall ist das eine lineare Funktion \(x(t)=mt+b\), für die man mit den Bedingungen oben ein LGS aufstellen kann:$$\begin{pmatrix}0& 1\\ 2& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ -1\end{pmatrix} \quad \implies m=-1,\space b=1$$Also lautet die Spur für das Stück von \(P_0\) nach \(P_1\)$$u(t)= \begin{pmatrix}-t+1\\ 2\end{pmatrix} \quad 0 \le t \lt 2$$Das zweite Stück von \(P_1(-1,\,2)\) nach \(P_2(-2,\,-1)\) verläuft mit der Parabel \(y=3-x^2\) in den Grenzen \(x=-1\to -2\) und \(y=2\to-1\). Hier bietet es sich an, wieder das \(x\) zu parametrieren und damit dann den Wert für \(y\) zu berechnen. Die Bedingung ist diesmal$$x(t=2) = -1, \quad x(t=3) = -2$$Das LGS für den Ansatz \(x=mt+b\) ist dann$$\begin{pmatrix}2& 1\\ 3& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}m\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\ -2\end{pmatrix} \quad \implies m=-1, \space b=1$$Die Lösung ist die gleiche wie oben (warum wohl?). Bei der Spur bleibt das \(x\) wie im ersten Stück und für den Y-Wert wird die Parabel-Funktion eingesetzt:$$u(t) = \begin{pmatrix}-t+1\\ 3-(-t+1)^2\end{pmatrix}\quad 2 \le t \lt 3$$

Hier sollte auch klar werden, dass das ziemlich willkürlich ist. Man hätte genauso den Wert für \(y\) parametrieren können. Das wäre dann $$u(t)= \begin{pmatrix} \sqrt{3-(-3t+8)^2}\\ -3t+8\end{pmatrix}\quad 2 \le t \lt 3$$was man wählt hängt davon ab, was man anschließend damit macht. Und i.A. sind Polynome (die 1. Lösung) den Wurzelausdrücken vorzuziehen.

Das Prinzip sollte inzwischen klar geworden sein. Graphisch sieht das ganze dann so aus (klick auf das Demos-Symbol rechts unten im Bild)

https://www.desmos.com/calculator/qd3bif6qpc

Parametrierung ist nicht eindeutig und somit ist die Lösung, die oben angegeben ist, auch nicht die einzige.

Wenn Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner