Steckbriefaufgabe Polynomfunktion 4. Grades

Question

Aufgabe:

der graph einer polynomfunktion f vom grad 4 ist symmetrisch bezüglich der 2. achse und geht durch den Punkt P=(0/2). Die stelle 1 eine Nullstele und lokale Extremstelle von f. Man sollte die Termdarstellung von f ermitteln.

Problem/Ansatz:

kann mir wer bitte erklären wie das ausrechnen könnte und wie ich vorgehen muss?

Answer 1

Ich gehe einmal ( ohne Überprüfung ) aus von

f(x) = ax^4 + bx^2 + c
f ´( x ) = 4ax^3 + 2bx

f(0) = 2
Einsetzen
f ( x ) = ax^4 + bx^2 + c
f ( 0 ) = a*(0)x^4 + b*(0)^2 + c = 2  => c = 2

f ( x ) = ax^4 + bx^2 + 2
f ´( x ) = 4ax^3 + 2bx

f ( 1 ) = a*1^4 + b*1^2 + 2 = 0
a + b + 2 = 0
f '(1) = 4*a*1^3 + 2*b*1 = 0
4a + 2b = 0

a + b + 2 = 0
a = -2 - b
4a = - 8 -4b

4a + 2b = 0
- 8 - 4b + 2b = 0
-2b - 8 = 0
b = -4

a + b + 2 = 0
a + -4 + 2 = 0
a = 2

f ( x ) = 2 * x^4 - 4*x^2 + 2

Answer 2

Wegen der Symmetrie bzgl. der x-Achse entfallen alle ungeraden Potenzen von \( f(\cdot) \)

Außerdem gilt $$ f(0) = 0 $$ woraus \( c = 2 \) folgt und es gilt $$ f(1) = f'(1) = 0 $$ Damit können alle Koeffizienten bestimmt werden.

Comments

Ich verstehs nicht ich werd 4 gleichungen haben wie sollte ich bitte hier die koeffizienten berechnen

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Du brauchst nur 3 Gleichungen.

Answer 3

f(x) = ax^4+bx^2+c

f(0) = 2

f(1) = 0

f '(1) = 0

...

Comments

Der Ansatz ƒ(x) = k·(x² - 1)² benötigt sogar nur eine Gleichung.

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Du solltest das noch erklären. Schüler:innen wissen meist nicht, wie man

doppelte Nullstellen verwenden kann. Lisa ist kein Profi.

Answer 4

Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 4 ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse und geht durch den Punkt P\((0|2)\). \(x=\red{1}\) eine Nullstelle und lokale Extremstelle von f.

\(x=\red{1}\) eine Nullstelle und lokale Extremstelle von f:

Somit ist dort eine doppelte Nullstelle.

Symmetrie zur 2.Achse(y-Achse) bewirkt, dass auch an der Stelle \( x=-\blue{1}\) eine doppelte Nullstelle ist:

\(f(x)=a(x-\red{1})^2(x+\blue{1})^2\)

P\((0|2)\):

\(f(0)=a(0-\red{1})^2(0+\blue{1})^2=2\)

\(a=2\):

\(f(x)=2(x-\red{1})^2(x+\blue{1})^2\)