Bestimme a so, dass die Stelle 6 eine lokale Extremstelle der Polynomfunktion f(x)=x^3 *(a-x) ist.

Question

Aufgabe: Bestimme a so, dass die Stelle 6 eine lokale Extremstelle der Polynomfunktion f(x)=x^3 *(a-x) ist. Für welche x Element aus R ist f(x)<0?

Ich habe mir a schon ausgerechnet und das ist 8. Aber ich weiß nicht wann es f(x)<0 ist

Answer 1

f ( x )= x^3 * (a-x)
Ableitung durch die Produktregel
u = x^3
u ´= 3 * x^2
v = a - x
v ´ = -1

u´ * v + u * v ´
3 * x^2 * ( a - x ) + x^3 * (-1)

3* x^2 * a - 3 * x^3 - x^3
f ´ ( x ) = - 4 * x^3  + 3*a * x^2
ausklammern
x^2 * ( -4x + 3a )
Extremstelle
x^2 * ( -4x + 3a ) =
Satz vom Nullprodukt anwenden
x = 0
und
-4x + 3a = 0
x = 6
-24 + 3a = 0
a = 8

An der Stelle x = 6 ist für a = 8 eine
Stelle mit waagerechter Tangente.
( Hoch-, Tielf- oder Sattelpunkt )
Hinweis : ein Hochpunkt.

Answer 2

Es würde vielleicht helfen, wenn du erst mal ausrechnest, wann f(x) GLEICH 0 ist.

Das gesuchte Intervall mit f(x)<0 liegt dann entweder zwischen zwei Nullstellen oder außerhalb davon.

Answer 3

f(x) = x^3·(a - x)

f'(x) = 3·x^2·(a - x) + x^3·(- 1) = x^2·(3·a - 4·x) = 0 --> a = 4/3·x = 4/3·6 = 8

f(x) = x^3·(8 - x) < 0 --> x < 0 ∨ x > 8

Wenn es noch für ein unbestimmtes a gerechnet werden soll

f(x) = x^3·(a - x) < 0 --> (x < a ∧ x < 0) ∨ (x > a ∧ x > 0)