Entwicklung einer Determinante

Question

Hallo, ich muss die Determinante einer 4x4 Matrix herausfinden.

Jetzt habe ich ein Problem.

Einerseits kann man ja die Determinante mit dem Produkt der halbdiagonale einer dreiecksmatrix berechnen und andererseits kann man die Determinante mithilfe der Entwicklung berechnen.

Bei der Entwicklung hätte ich eine Frage.

Wie entscheide ich nach welcher Zeile oder Spalte ich entwickeln möchte?

Wonach gehe ich da?

Im Endeffekt ist das ja egal, aber wie erkenne ich welche Entwicklung am einfachsten ist?

Answer 1

Aloha :)

In der Regel solltest du nach der Zeile oder Spalte entwickeln, die am meisten Nullen enthält. Eventuell kannst du die Zeilen oder Spalten durch elementare Gaußoperationen vorab umformen, um mehr Nullen zu erhalten.

Comments

Meine Matrix hat aber keine nullen.

Kann ich mir dann frei aussuchen welche Entwicklung ich machen möchte?

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Das kannst du dir immer frei aussuchen. Wenn du keine Nullen hast, schau mal, ob du Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addieren kannst, sodass Nullen entstehen. Sonst wähle die Zeile oder Spalte mit den betragsmäßig kleinsten Zahlen.

Oder schreib doch mal deine Matrix hier rein, dann schauen wir mal drüber...

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Das ist aber nett, danke! :)

Meine Aufgabe ist es das LGS mithilfe der Cramerschen Regel zu lösen

Text erkannt:

\( \begin{array}{rrrrrr}3 x_{1} & -14 x_{2}+2 x_{3} & -x_{4} & = & -7 \\ -2 x_{1} & +13 x_{2} & -4 x_{3} & +3 x_{4} & = & 9 \\ x_{1} & -6 x_{2} & +x_{3} & -x_{4} & = & -4 \\ 2 x_{1} & -12 x_{2} & +2 x_{3} & +x_{4} & = & 1\end{array} \)

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Hier kannst du mittels Gauß-Umformungen die Determinante vor der Entwicklung erheblich vereinfachen:$$\left|\begin{array}{rrrr}3 & -14 & 2 & -1\\-2 & 13 & -4 & 3\\1 & -6 & 1 & -1\\2 & -12 & 2 & 1\end{array}\right|$$Addiere die vierte Zeile zur zweiten Zeile:$$\left|\begin{array}{rrrr}3 & -14 & 2 & -1\\0 & 1 & -2 & 4\\1 & -6 & 1 & -1\\2 & -12 & 2 & 1\end{array}\right|$$Subtrahiere das 3-fache der Zeile 3 von Zeile 1 und das Doppelte der Zeile 3 von Zeile 4:$$\left|\begin{array}{rrrr}0 & 4 & -1 & 2\\0 & 1 & -2 & 4\\1 & -6 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right|$$Jetzt kannst du die Determinante bequem nach der ersten Spalte entwickeln:$$1\cdot\left|\begin{array}{rrrr}4 & -1 & 2\\ 1 & -2 & 4\\0 & 0 & 3\end{array}\right|$$Jetzt weiter nach der dritten Zeile$$1\cdot3\cdot\left|\begin{array}{rrrr}4 & -1\\ 1 & -2\end{array}\right|=3\cdot(-8+1)=-21$$Damit hast du die Determinante, die immer in den Nenner muss. Die anderen Determinanten solltest du nun nach demselben Prinzip berechnen könnnen.

Als Lösung solltest du erhalten:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\0\\1\\3\end{pmatrix}$$

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Könntest du mir noch zeigen wie du nach x_1 gerechnet hast?

Ich bekomme ständig ein falsches Ergebnis dafür