Grenzwert einer Reihe berechnen

Question

Gegeben ist die Reihe$$\sum\limits_{n \in \mathbb N_0 \space\cup\space m \in \mathbb N} \frac{1}{(m+n)^2(m+n+1)}$$Ich vermute, dass man diesen Ausdruck zu einer Teleskopsumme umformen muss. Habe es durch verschiedene Methoden versucht aber ich komme maximal u einer alternierenden harm. Reihe als S1 und S2 harm. reihe mit ^{x > 1.}

Wäre sehr dankbar für tipps!

Comments

... es sollte im zähler 1 und im nenner (m+n)2 (m+n+1) stehen.

dann solltest Du das auch so hinschreiben. Ich habe das für Dich korrigiert.

Tipp: diese Terme werden von links nach rechts gelesen.

Answer 1

$$\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^{\infty} \frac{m+n+1}{(m+n)^2}$$

$$ \gt \sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^{\infty} \frac{m+n}{(m+n)^2}$$

$$ = \sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m+n}$$

$$ \gt \sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$

mehr als die harmonische Reihe, also divergent.

Comments

Hallo danke für deine Antwort!

Ich glaube du hast etwas verwechselt, es sollte im zähler 1 und im nenner (m+n)² (m+n+1) stehen.

Lg

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Ich glaube du hast etwas verwechselt

Jetzt wird es ... bizarr.

Es war DEIN Versäumnis, Klammern so zu setzen, dass die jetzt offerierte Interpretation des Aufgabentextes erkennbar wird.

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Tut mir leid.

Hättest du eine lösung bzw. einen tipp?

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einen tipp

Deine Idee  dass man diesen Ausdruck zu einer Teleskopsumme umformen muss ist richtig.

∑[s=1..∞] 1/(s*(s+1))  =  ∑[s=1..∞] (1/s - 1/(s+1))  =  1

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ich komme durch umformen nur auf ∑_{n€N0, m€N} 1/ (m+n) * (∑_{n€N0, m€N} 1/(m+n) - 1/(m+n+1)) aber letzteres is ja keine teleskopsumme da es ja (1/2) + (1/3) – (1/4) + …

Vielleicht würde indexverschiebung für n etwas bringen?… komme echt nicht weiter

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komme echt nicht weiter

Fülle die Tabelle aus :

m     n	0	1	2	3
1
2
3
4

indexverschiebung für n
Summiere über s = n+m

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Hey danke für die antwort.

Ist die tabelle für die reihe aus der angabe gedacht oder für 1/(m+n) - 1/(m+n+1) ?

So wie ich es verstanden habe, werden n und m immer parallel erhöht also würde nur die diagonale eintreten als indexe, oder? Sprich im ersten summand ist n=0, m=1 dann im zweiten n=1, m=2 usw...

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Ist die tabelle für die reihe aus der angabe gedacht

Sie ist für die Terme   1/ ((m+n)2 * (m+n+1))   gedacht.

werden n und m immer parallel erhöht

Nein, jedes Feld der Tabelle zählt.

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ich weiss ehrlich gesagt nicht was die tabelle mir zeigen soll, da stehen lauter brüche und den zusammenhang mit einer teleskopsumme kann ich daran nicht erkennen…

Aber dann kann ich ja nicht wissen in welcher reihenfolge die summanden addiert werden oder? Oder spielt das bei dieser Reihe keine Rolle da sie absolut konvergiert?

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Wäre sehr dankbar für tipps!

Mein Repertoire an Tipps ist erschöpft, vielleicht gibt es hier jemanden, der dir eine Komplettlösung anbietet.

Answer 2

Hallo,

Gast_hj2166 schrieb:

Mein Repertoire an Tipps ist erschöpft, ...

es reicht ja auch aus, die Frage zu beantworten. Wenn man in folgender Summe ... $$\sum\limits_{n \in \mathbb N_0 \space\cup\space m \in \mathbb N} \frac{1}{(m+n)^2(m+n+1)} $$ ... den Term \(m+n\) durch \(s\) ersetzt, dann stellt sich zunächst mal die Frage, wieviel Summanden in der Doppelsumme mit identischen Wert von \(s=m+n\) existieren. Und wenn Du die Tabelle ausgefült hast (s. Kommentar hj2166), dann weißt Du, dass es immer \(s\) identische Summanden sind.

Es gibt genau nur einen Summanden mit \(n=0\) und \(m=1\), es gibt zwei Summanden mit \(s=2\)$$s=m+n=2:\quad (n,\,m) =\{(0,\,2),\,(1,\,1)\} $$und drei mit \(s=3\) und vier mit \(s=4\)$$s=m+n=3: \quad (n,\,m) = \{(0,\,3),\,(1,\,2),\,(2,\,1)\} \\ s=m+n=4: \quad (n,m)=\{(0,\,4),\,(1,\,3),\,(2,\,2),\,(3,\,1)\}$$Also lässt sich mit der Substitution \(s=m+n\) schreiben:$$\sum\limits_{n \in \mathbb N_0 \space\cup\space m \in \mathbb N} \frac{1}{(m+n)^2(m+n+1)} \\ = \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{s}{s^2(s+1)} \\ = \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{1}{s(s+1)}$$und jetzt erst kommt die Partialbruchzerlegung inklusive Teleskopsumme zum Einsatz:$$\phantom{=} \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{1}{s(s+1)} \\ = \sum\limits_{s=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}\right)\\ = 1$$Falls Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Hallo Werner, vielen dank für die antwort, mir ist jetzt alles eigentlich klar, nur:

wie kommst du auf das s im zähler, welches du dann anschließend kürzt? Es müsste ja in der ursprünglichen Summe ein m+n im zähler stehen damit man es durch s ersetzen kann…?

Lg

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Kann es sein dass du 1/ (s²(s+1)) immer mal s nimmst für jede „iteration“? Also wenn du weil es ja für s= 1 einen summanden gibt, für s=2 zwei usw.? Nur so würde das s im nenner sinn machen..

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wie kommst du auf das s im zähler, ...

Genau das meine ich mit meiner Antwort erklärt zu haben. 80% der Erklärungen oben, und die Tabelle von hj2166 dienen nur dazu, dieses \(s\)-im-Zähler zu erklären ;-)

Es geht doch darum, alle Sumanden zu erfassen. Eine Möglichkeit wäre, \(m=1\) zu setzen und dann alles Summanden von \(n=0\) bis \(n=\infty\) zu addieren. Dann setze \(m=2\) und addiere wieder alle Sumanden von \(n=0\) bis \(n=\infty\). Dann \(m=3\) usw. bis \(m=\infty\).

Genau das machen wir nicht!

Sondern beginne mit \(m=1\) und suche alle Kombination, bei denen die Summe \(s=m+n\) immer \(=1\) ist. Da gibt es nur eine Kombi \((m=1,\,n=0)\).

Dann \(m=2\). Das gilt gilt für 2 Summanden \((m=2,\,n=0)\) und \((m=1,\,n=1)\). Dann \(m=3\) usw. Benenne ich einen der Summanden mit \(a_{m,n}\), so ergibt sich die Reihenfolge:$$= a_{1,0} + \underbrace{a_{2,0}+ a_{1,1}}_{s=2}+ \underbrace{a_{3,0}+ a_{2,1}+ a_{1,2}}_{s=3}+ \underbrace{a_{4,0}+ a_{3,1}+\dots}_{s=4}$$Wichtig ist:$$a_{m,n} = a_{x,y} \Leftrightarrow m+n=x+y$$D.h. die Sumanden mit dem Wert \(a_{m,n}\) kommen genau \((m+n)\)-mal vor.

Man kann obige Summe also auch so schreiben:$$= 1\cdot a_{1,0} + 2\cdot a_{2,0} + 3\cdot a_{3,0} + 4\cdot a_{4,0} + \dots$$Jeden dieser Sumanden gibt es genau \(s\)-mal. Das ist das \(s\) im Zähler.

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Na logisch :)

endlich hat die frustration ein ende… vielen lieben dank!!