Hallo,
Gast_hj2166 schrieb:
Mein Repertoire an Tipps ist erschöpft, ...
es reicht ja auch aus, die Frage zu beantworten. Wenn man in folgender Summe ... $$\sum\limits_{n \in \mathbb N_0 \space\cup\space m \in \mathbb N} \frac{1}{(m+n)^2(m+n+1)} $$ ... den Term \(m+n\) durch \(s\) ersetzt, dann stellt sich zunächst mal die Frage, wieviel Summanden in der Doppelsumme mit identischen Wert von \(s=m+n\) existieren. Und wenn Du die Tabelle ausgefült hast (s. Kommentar hj2166), dann weißt Du, dass es immer \(s\) identische Summanden sind.
Es gibt genau nur einen Summanden mit \(n=0\) und \(m=1\), es gibt zwei Summanden mit \(s=2\)$$s=m+n=2:\quad (n,\,m) =\{(0,\,2),\,(1,\,1)\} $$und drei mit \(s=3\) und vier mit \(s=4\)$$s=m+n=3: \quad (n,\,m) = \{(0,\,3),\,(1,\,2),\,(2,\,1)\} \\ s=m+n=4: \quad (n,m)=\{(0,\,4),\,(1,\,3),\,(2,\,2),\,(3,\,1)\}$$Also lässt sich mit der Substitution \(s=m+n\) schreiben:$$\sum\limits_{n \in \mathbb N_0 \space\cup\space m \in \mathbb N} \frac{1}{(m+n)^2(m+n+1)} \\ = \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{s}{s^2(s+1)} \\ = \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{1}{s(s+1)}$$und jetzt erst kommt die Partialbruchzerlegung inklusive Teleskopsumme zum Einsatz:$$\phantom{=} \sum\limits_{s=1}^{\infty} \frac{1}{s(s+1)} \\ = \sum\limits_{s=1}^{\infty} \left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+1}\right)\\ = 1$$Falls Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte.
Gruß Werner