Injektivität und Surjektivität überprüfen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität:

(a) f : ℝ²→ ℝ× ℝ^+ (und unten eine 0)

(x, y) → (x + y, x²) 

(b)g : ℕ^2 (und unten eine 0) →ℕ

(x, y) ↦ 2^x × 3^y

Problem/Ansatz:

Hi vielleicht könnt ihr mir hier weiterhelfen, das wäre wirklich super lieb, danke schonmal :)

Answer 1

(a) Nicht injektiv, da

\(\begin{aligned} f(-1,4)=(3,1)=f(1,2) \end{aligned}\)

Für die Surjektivität, sei \( (a, b) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}_{0}^{+} \)beliebig. Wir wollen \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \) finden mit

\( \left\{\begin{array} { l } { x ^ { 2 } = b \geq 0} \\ { x + y = a } \end{array} \Longrightarrow \left\{\begin{array}{l} x= \pm \sqrt{b} \\ y=a-x \end{array}\right.\right. \)

also ist z.B. \( f(\sqrt{b}, a-\sqrt{b})=(a, b) \), woraus die Surjektivität folgt.

(b) Fundamentalsatz der Arithmetik für Injektivität. Nicht surjektiv, da \(f^{-1}[\{5\}] = \varnothing\).

Comments

Das Argument zu a verstehe ich nicht: Wurzel aus 3 ist doch eine schöne reelle Zahl?

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ja wenn man die Aufgabe nicht genau liest haha (dachte nach \(\mathbb{N}\)). Danke für den Hinweis!

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Hi danke erstmal für deine Hilfe, aber ich hab es noch nicht ganz verstanden.

Also b warum ist das nicht injektiv und was ist der Fundamentalsatz davon habe ich bisher noch nichts gehört und das zur Surjektivität habe ich auch nicht ganz verstanden. Vielleicht kannst du mir das noch einmal kurz erklären.

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Der Fundamentalsatz der Arithmetik: Jede natürliche Zahl ist eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellbar. 5 ist eine Primzahl, und somit nur durch 1 und sich selbst teilbar, insbesondere also nicht durch 2 oder 3.

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Ah okay danke das habe ich verstanden, aber wie kommst du auf die 5 und woher weiß ich, dass b nicht surjektiv ist, den Beweis habe ich auch noch nicht ganz verstanden.

Sorry für die ganzen Fragen, irgendwie steh ich da gerade auf dem Schlauch

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Naja, du kannst irgendeine Zahl nehmen, welche nicht durch 3 und nicht durch 2 teilbar ist, denn dann gibt es ja kein Werte paar in deinem Wertebereich, welches die Funktion auf diese Zahl "mappt", was ja genau bedeutet, dass die Funktion nicht surjektiv ist.

Answer 2

" (b)g : ℕ^2 (und unten eine 0) →ℕ

(x, y) ↦ 2^x × 3^y "

Die Bildmenge besteht aus allen natürlichen Zahlen, deren Primfaktorzerlegung nur aus Zweien und Dreien besteht inkl. der Zahl 1, die aus 2^0 mal 3^0 stammt.

Das sind ersten mal nicht alle natürlichen Zahlen. (nicht surjektiv). Da aber die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, ist die Abbildung injektiv.