Konvergenz einer Reihe wie überprüfen

Question

Aufgabe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt[4]{n^3})}} \)

Problem/Ansatz:

Bin jetzt schon seit längerem am überlegen, wie man hier am besten vorgeht. Vermuten würde ich mal das die Reihe konvergiert, wegen der der Teleskopsumme im Zähler. Die Folgenglieder streben ja auch gegen 0 (also notwendige Bedingung für Konvergenz erfüllt)

Nur mit welchen Kriterium kann man hier am besten arbeiten? Bin da im Moment ein bisschen ratlos. Die Kriterien für Konvergenz/Divergenz sind bis auf das Integralkriterium bekannt. Wäre für Tipps dankbar

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich schlage vor, dass wir zunächst die Summanden etwas umbauen:$$a_n=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt[4]{n^3}}=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt[4]{n^3}\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt[4]{n^3}\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{1}{n^{\frac34}\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}<\frac{1}{n^{\frac34}\cdot(\sqrt{n}+\sqrt n)}=\frac{1}{n^{\frac34}\cdot2n^{\frac12}}=\frac{1}{2n^{\frac34+\frac12}}=\frac{1}{2n^{\frac54}}$$Ist bekannt, dass \(\sum\limits_n\frac{1}{n^\alpha}\) für \(\alpha>1\) konvergiert? Dann bist du jetzt fertig.

Comments

Dann bist du jetzt fertig.

Besser : Dann bin ich jetzt fertig

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Zuerst einmal: Danke für die schnelle Antwort! Und ja, die Konvergenz/Divergenz der allgemeinen harmonischen Reihe hatten wir schon.

Und damit ichs richtig verstehe: Ich erweitere mein Folgenglied (3.Bin. Formel)

Danach schätz ich einfach nach oben ab, damit ich auf meine Majorante komme. Diese harmonische Reihe konvergiert, also konvergiert auch meine Reihe.

Bin grad fast ein bisschen überrascht, wie einfach das Beispiel ist/war.

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Genau so. Wir haben den Nenner des Bruches ein wenig verkleinert, wodurch der gesamte Bruch größer wird. Daher ist diese einfache Abschätzung nach oben möglich.