Trigonometrische Formel cos(3x) = cos x - 4 sin^2 x cos x via komplexe Exponentialfunktion beweisen

Question

Aufgabe:

Beweisen sie die Trigonometrische Formel cos(3x) = cos x - 4 sin^2 x cos x , indem sie

a) die linke Seite als den Realteil einer komplexen Exponentialfunktion schreiben und anschließend die euler-formel verwenden.

b) die komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus auf der rechten Seite einsetzten und ausmultiplizieren,

c) die bekannten reellen Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden.

Problem/Ansatz:

Moin, kann jemand mir bei den Aufgaben helfen oder hätte jemand ein paar Ansätze? Wie ich die c mache, weiß ich schon. Bei a und b bin ich mir unsicher.

Comments

Ein eleganter Beweis geht über die Formel von Moivre:

\((\cos(x)+i\sin(x))^3=\cos(3x)+i\sin(3x)\)

Dann musst du nur die linke Seite ausmultiplizieren und erhältst per Koeffizientenvergleich sofort eine Darstellung für \(\sin(3x)\) und \(\cos(3x)\).

Soweit ich weiß, hängt die Formel von Moivre auch unmittelbar mit der Euler-Formel zusammenhangen.

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Ne, so wie ich es aufgeschrieben habe, stimmt es. Zumindest laut der Aufgabe vom Prof.

Ich weiß nicht so genau, wie ich dann zeigen soll, dass die linke Seite gleich ist wie die rechte Seite.

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Ja, hast Recht. Die Gleichheit folgt dann aus den Additionstheoremen.

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Könntest du vielleicht nochmal genau sagen, was ich bei den drei Teilaufgaben genau machen soll. Also bei der a) moivre formel anwenden und ausmultiplizieren? Und bei b) und c) ? Bzw. c) weiß ich schon selbst.

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Weißt du vielleicht wie ich die b) berechne?

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Vom Duplikat:

Titel: Komplexe Additionstherome; Sinus und Kosinus

Stichworte: komplex,sinus,kosinus,additionstheorem

Aufgabe:

Ich soll cos(3x) = cos x - 4 sin2 x cos x Beweisen indem, ich die komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus auf der rechten Seite einsetzte und ausmultipliziere.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hier helfen, weiß nicht so ganz, wie ich es ausmultipliziere.

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Diese Formel ist - wohl - falsch. Überprüfe sie mal zum Beispiel mit dem Wert \(\pi/4\).

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Hab mich vertippt sorry, da sollte sin^2 x stehen

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Vom Duplikat:

Titel: Komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus rechts einsetzen und ausmultiplizieren

Stichworte: sinus,kosinus,komplexe-zahlen,komplex

Aufgabe:

Beweisen sie cos(3x) = cos x - 4 sin2 x cos x , indem sie

a) die linke Seite als den Realteil einer komplexen Exponentialfunktion schreiben und anschließend die euler-formel verwenden.

b) die komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus auf der rechten Seite einsetzten und ausmultiplizieren,

c) die bekannten reellen Additionstheoreme für Sinus und Kosinus verwenden.

Problem/Ansatz:

Moin, kann jemand mir der b) helfen? a und c habe ich verstanden bloß bei b) weiß ich leider nicht, wie ich es machen soll. Ich weiß zwar, wie die komplexe Darstellung aussieht. Aber komme beim einsetzten und ausmultiplizieren, nicht auf das richtige Ergebnis

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"komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus rechts einsetzen und ausmultiplizieren"

Welches Wort verstehst du hier nicht?

Tipp: Damit du ein Produkt hast (damit man etwas ausmultiplizieren kann), könntest du rechts cos(x) ausklammern.

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Könntest du es vielleicht zeigen, wie ich machen soll? Weil ich komme irgendwie nicht auf das gleiche Ergebnis. Ich weiß, dass man es einfach einsetzten soll und ausmultiplizieren, aber mache da irgendwie immer einen Fehler.

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Bitte poste doch in deiner Originalfrage mal deine Rechnung.

Dort beschäftigen sich schon andere mit deinem Problem. Die sehen sicher schnell, was nicht klappt.

Answer 1

Die dritte Potenz von cosx + i sin x ist einerseits cos(3x)+i(sin3x), andererseits (cosx + i sin x)³.

Comments

OK, und wie mache ich dann weiter?

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Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich (Real- und Imaginärteil)

Kriegst sogar \(\sin(3x)\) geschenkt. Aber das ist nicht gemäß der "Anleitung", daher habe ich das als Kommentar gepostet. Hängt aber gewiss miteinander zusammen.

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Koeffizientenvergleich vereinfacht.

Wenn 2 + 3i = x+2 -(2x -1)*i

Gleichungssystem ablesen:

2 = x+2

3 = -(2x-1)

usw.

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Danke, bin mit halt nur noch bei b unsicher, wie ich es einsetzen soll. Wie die komplexen Darstellungen aussehen weiß ich und wir man dorthin kommt. Allerdings, weiß ich nicht so ganz, wir ich es hier einsetzten/ausmultiplizieren soll

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Wie die komplexen Darstellungen aussehen weiß ich

Dann ist doch alles klar!

\( \cos x=\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2} \)

und
\( \sin x=\frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i} \)

sollst du in

cos x - 4 sin²x cos x

einsetzen!

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Habe ich bereits, bloß beim ausmultiplizieren, habe ich meine Probleme.

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Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

Regeln wie (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd haben sich seit Klasse 7 noch nicht wieder geändert.

\(e^a \cdot e^b = e^{a+b} \) gilt auch noch.

Answer 2

Multipliziere (cos(x)+i*sin(x))³ aus.

Comments

Das habe ich bereits für einen anderen Schritt (Aufgabe) gemacht. Hier muss ich in die rechte Seite die komplexe Darstellung des Sinus und Kosinus einsetzen und ausmultiplizieren. Weiß leider nicht so ganz, welche Darstellung und wie ich es ausmultiplizieren in soll