Bestimme die Abbildungsmatrix

Question

Hallo, kann mir jemand bitte einen Ansatz geben, wie ich hier vorgehen muss?

Sei V=ℝ[x]≤2 und V→V (auf dem Pfeil steht f) eine ℝ-lineare Abbildung, deren Abbildungsmatrix in der Basis B=(1,x,x²)

[f]_B^B=

0	0	1
0	1	0
1	0	0

ist. Bestimme die Abbildubgsmatrix von f in der Basis C=(3x²+2x+1,x²+3x+2,2x²+x+3)

Muss ich jetzt mithilfe von den Vektoren von [f] die Vektoren C aufstellen?

Answer 1

Hallo,

hier hilft die Basistransformationsformel: $$[f]_C^C=([\operatorname{id}^C_B])^{-1} \cdot [f]_B^B\cdot [\operatorname{id}]^C_B,$$ wobei \([\operatorname{id}]^C_B=(_B\operatorname{id}(c_1),_B\operatorname{id}(c_2), _B\operatorname{id}(c_3))\).

D. h. du musst die Koordinantenvektor bzgl. \(B\) berechnen:$$_B\operatorname{id}(3x^2+2x+1)=\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \newline \newline _B\operatorname{id}(x^2+3x+2)=\begin{pmatrix} 2\\3\\1 \end{pmatrix} \newline \newline _B\operatorname{id}(2x^2+x+3)=\begin{pmatrix} 3\\1\\2 \end{pmatrix}$$

Comments

Ich habe folgende Abbildungsmatrix raus:

[f]_C^B=

3	1	2
2	3	1
1	2	3

Ist das richtig?

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Suchst du nicht \([f]_C^C\)?

Answer 2

Aloha :)

Die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis \(B=(1;x;x^2)\) lautet:$${_B}[f]_B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)$$Da die Basis \(C=(1+2x+3x^2;2+3x+x^2;3+x+2x^2)\) bezüglich der Standardbasis \(B\) angegeben ist, kennen wir die Transformationsmatrix von \(C\) nach \(B\):$${_B}\mathbf{id}_C=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)$$

Damit können wir die Abbildungsmatrix von \(f\) bezüglich der Basis \(C\) angeben:$${_C}[f]_C={_C}\mathbf{id}_B\cdot{_B}[f]_B\cdot{_B}\mathbf{id}_C=\left({_B}\mathbf{id}_C\right)^{-1}\cdot{_B}[f]_B\cdot{_B}\mathbf{id}_C$$$$\phantom{{_C}[f]_C}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\\3 & 1 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-\frac13 & \frac23 & \frac23\\[1ex]\frac23 & \frac23 & -\frac13\\[1ex]\frac23 & -\frac13 & \frac23\end{array}\right)$$

Comments

Tut mir leid, für die späte Antwort. Auf jeden Fall bedanke ich mich sehr !