Abbrechende Dezimalbruchentwicklung

Question

wie kann man bei folgendem Term eine nicht abbrechende Dezimalbruchentwicklung nachweisen für alle positiven ganzen Zahlen:


(4n+9)/(2n^2+7n+6)

Präzision:

Also ich möchte beweisen dass egal was man für n (n=beliebige ganze positive Zahl) einsetzt, die Zahl am Ende eine nicht abbrechende Dezimalbruchentwicklung aufweist.

Comments

Wie lautet die Fragestellung genau?

Du willst alle positiven ganzen Zahlen als nicht abbrechende Dezimalbrüche darstellen?

0.999999…
1.99999…

2.99999…

usw. ?

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Also ich möchte beweisen dass egal was man für n (n=beliebige ganze positive Zahl) einsetzt, die Zahl am Ende eine nicht abbrechende Dezimalbruchentwicklung aufweist.

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Vgl. auch https://www.mathelounge.de/90393/abbrechende-dezimalbruchentwicklung-2

Dort vermutlich definitive Fragestellung.

Answer 1

Setz mal 6 ein

(4·n + 9)/(2·n^2 + 7·n + 6) = (4·6 + 9)/(2·6^2 + 7·6 + 6) = 11/40 = 0.275

Also kannst du das nicht beweisen.

Comments

Ohh stimmt :/ Habe mir gerade nochmal die Aufgabe durchgelesen und da steht für welche Zahlen die Folge eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung besitzt und es ist zu beweisen dass es nur diese gibt. Wäre echt super wichtig und nett wenn mir da noch einer helfen könnte :) Die Folge ist immer noch dieselbe wie oben beschrieben

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Mach mal eine Partialbruchzerlegung

(4·n + 9)/(2·n^2 + 7·n + 6) = 6/(2·n + 3) - 1/(n + 2)

Jetzt sollte man sich überlegen wann ein Bruch eine abbrechende Dezimalentwicklung hat und wie es mit einer Summe oder einer Differenz aussieht.

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ok super danke schonal :) das mit der Partialbruchzerlegung habe ich jetzt schon nachvollziehen können. Aber wie findet man jetzt heraus welche Zahlen genau eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung haben und welche nicht?

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Ein maximal gekürzter Bruch hat genau dann eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung wenn der Nenner keine von 2 und 5 verschiedenen Primfaktoren hat.

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Also damit ich das richtig verstehe: Der Nenner des Bruches muss also durch die Primfaktorzerlegung die Form 2^a+5^b annehmen damit er abbrechend ist. Aber i-wie bringt mich Die Differenz und die Variable durcheinander :(

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Was hat denn eine Summe in einer Faktorzerlegung verloren???

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Eh ich meinte entweder ein vielfaches von 2 oder ein vielfaches von 5 keine Summe... Trotzdem stehe ich immer noch auf dem Schlauch :/

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Der Nenner muss sich schreiben lassen als 2^n * 5^m mit n, m Element N0.

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Ja aber wie bekomme ich das Ganze aufgelöst? dann habe ich ja 3 Variablen:

2n^2+7n+6=2^a*5^b

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Du hast sogar noch mehr Variablen, da hier nur maximal gekürzte Brüche betrachtet werden, d.h. es kann sein dass 3 deinen Nenner in dieser Darstellung teilt und den Zähler auch.

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Ohh stimmt :/ ich brauche aber  eine Lösung! Hat i-jemand eine Idee?

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Für was machen wir eigentlich eine Partialbruchzerlegung und was ist das überhaupt?

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Mit der Partialbruchzerlegung zerlegt man einen Bruch in die Summe mehrerer Brüche. Das wird oft auch zum Integrieren benutzt, wenn man von einem Bruch nicht so ohne weiteres ein Integral bilden kann. Es dient im wesentlichen der Vereinfachung. Und die Summe zweier abbrechender Dezimalbrüche sollte wieder ein abbrechender Dezimalbruch sein.

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Heißt das, dass wenn ich durch die Partialbruchzerlegung einen Bruch erhalte, der im Nenner nur die Variable stehen hat, muss die Variable die Bedingung 2^n*5^m erfüllen?

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Ja. Zumindest ist das eine Möglichkeit.

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Was für andere Möglichkeiten gibt es noch? Und wie schreibe ich diese Bedingungen dann in der richtigen schreibweise, also dass die variable aus der menge der natürlichen zahlen sein muss und die Bedingung 2^n*5^m erfüllen muss, wobei n und m zu n mit 0 gehören muss...

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Da sehe ich momentan für die gegebene Aufgabe keine so einfache Möglichkeit.

Abbrechende Dezimalbrüche können leider auch entstehen wenn wir 1/2 und 2/3 addieren. beides sind nicht abbrechende Dezimalbrüche. Die Summe ist allerdings abbrechend :(

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Kann man die Aufgabe dann überhaupt so lösen, dass man ALLE Zahlen findet, für die der Bruch eine abbrechende Dezimalbruchentwicklung hat?

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Wenn das eine Aufgabe aus der Uni ist, dann wird die ja dort auch besprochen. Dann wird es vermutlich auch eine Lösung geben. Wenn das eine selber ausgedachte Aufgabe ist kann es dafür eine Lösung geben muss es aber nicht. Momentan sehe ich keinen Beweis. Das heißt aber nicht das es keinen gibt. Das heißt nur ich bin unfähig, wenn es ihn gibt, ihn direkt zu erkennen.

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Ne. Das ist keine Uni Aufgabe, das ist eine Knobelaufgabe von unserer Lehrerin, die sie aber nicht verbessern wird, deshalb hätte es mich halt interessiert... aber dann lässt sich da nix machen. ...

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@Der_Mathecoach: Die Summe aus 1/2 und 2/3 ist doch 7/6, also periodisch und nicht abbrechend. Ich glaube das stimmt schon, dass man immer sagen kann, dass die Summe aus zwei abbrechenden Dezimalbruchentwicklungen auch immer eine abbrechende sein muss.
Vielleicht könnte man sich in diesem Fall nach der Partialbruchzerlegung eine Formel überlegen, die ausgehend davon, dass jeder einzelne zu addierende Bruch abbrechend ist, die beiden Nenner der Brüche miteinander in Verbindung setzt und und man dadurch eine weitere Bedingung für n enrhält.

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Ich wollte glaube ich sagen 1/3 und 2/3.

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Ich sag nur Bundeswettbewerb aufgabe 4! Bitte löschen. Wer nicht selbst drauf kommt soll es lassen!

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nöö stimmt nicht , die lautet nämlich 4n+1/(n*(2n+1)