Berechnen Sie für die Funktion F: ℝ^{3} → ℝ^{3}, F(x, y, z)=(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}) das Integral …

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Menge

\( M=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=1, z=x+y\right\} \)

a) Beschreiben Sie die Menge \( M \) und geben Sie eine Parametrisierung von \( M \) an.
b) Berechnen Sie für die Funktion \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, F(x, y, z)=\left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \) das Integral \( \int \limits_{M} F(x) \mathrm{d} x \).

Hinweis: \( \cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)=\cos (2 x) \).

Problem/Ansatz:

Ich kann mir unter M nur einen Kegel mit zwei Spitzen vorstellen, aber ich habe keinen Plan wie ich den parametriesieren könnte.

Merci d'avance

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Menge \(M\) parametrisieren wir mit Polarkoordinaten für \(x=r\cos\varphi\) und \(y=r\sin\varphi\). Der Radius \(r\) ist wegen \(x^2+y^2=r^2\) konstant bei \(r=1\). Wegen \(z=x+y=\cos\varphi+\sin\varphi\) hat die Parametrisierung tatsächlich nur einen Freiheitsgrad, nämlich den Polarwinkel \(\varphi\):$$\vec r=\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\cos\varphi+\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$

zu b) Das Integral ist entsprechend:$$I=\int\limits_M\vec F\,d\vec r=\int\limits_0^{2\pi}\vec F(\varphi)\,\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\\cos\varphi+\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\cos\varphi\\-\sin\varphi+\cos\varphi\end{pmatrix}d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^{2\pi}(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)\,d\varphi\stackrel{(\text{Tipp})}{=}\int\limits_0^{2\pi}\cos(2\varphi)\,d\varphi=\left[\frac12\sin(2\varphi)\right]_0^{2\pi}=0$$

Comments

Danke für die Antwort!

Ich bin mir noch nicht ganz sicher, wie würdest du die Menge beschreiben?

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Bei \(M\) handelt es sich um ein 1-dimensionales Objekt. Es ist die Funktion$$f(\varphi)=\cos\varphi+\sin\varphi$$um einen Zylinder mit Radius \(1\) gewickelt.

~plot~ (cos(x)+sin(x))*(x<=2pi) ; [[0|7|-2|2]] ~plot~

Wickel diese Kurve um einen "gedachten" Zylinder. Anfangs- und Endpunkt sind am Ende identisch, d.h. die Kurve ist geschlossen.