Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir zeigen: \((1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\)
Induktionsverankerung bei \(n=0\):$$(1+x)^n=(1+x)^0=1=\binom{0}{0}x^0=\sum\limits_{k=0}^0\binom{0}{k}x^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$(1+x)^{n+1}=(1+x)\cdot(1+x)^n$$$$\quad\stackrel{\text{I.V.}}{=}(1+x)\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+x\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k$$$$\quad=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^{k+1}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^k$$$$\quad=\binom{n}{0}x^0+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k+\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{n}{k-1}x^k+\binom{n}{n}x^{n+1}$$$$\quad=1+\sum\limits_{k=1}^n\left[\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\right]x^k+x^{n+1}=1+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+x^{n+1}$$$$\quad=\binom{n+1}{0}x^0+\sum\limits_{k=1}^n\binom{n+1}{k}x^k+\binom{n+1}{n+1}x^{n+1}=\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^k\quad\checkmark$$
Wenn du nun das Gezeigte nicht auf \(x\), sondern auf \(\frac xy\) anwendest, folgt die Behauptung:$$(x+y)^n=y^n\left(1+\frac{x}{y}\right)^n\!\!\!=y^n\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\frac xy\right)^k\!\!\!=y^n\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{-k}=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$$
