Basis eines konkreten Quotientenraums

Question

Aufgabe:

Seien V = R⁴  und W = <\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\5 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} \)>

Geben sie eine Basis des Quotientenraums V/W an.

Problem/Ansatz:

Ich muss also einen Komplementarraum zu W finden und dann kann ich die Aquivalenzklassen derr Basis vom komplementaerraum als Menge angeben was die Basis des Quotientenraums ist?
Aber wie finde ich das bei konkreten Vektorraeumen?

Answer 1

Ergänze die Basis von W zu einer von R^4 etwa so

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\5 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

und wähle die beiden letzten als Vertreter der Basisklassen.

Comments

Ich soll daraus auch noch eine linear kombination erstllen und zwar mit der [\( \begin{pmatrix} 2\\3\\5\\8 \end{pmatrix} \) ]_~  . Wie kann ich das schreiben?

---

Mache eine Linearkombination des Vertreters

aus allen 4 Basisvektoren des R^4 und lass dann

die beiden aus W weg.

---

Was ist der Vertreter ist das die angegebene klasse?

---

\( \begin{pmatrix} 2\\3\\5\\8 \end{pmatrix} \)  ist ein Vertreter der Klasse [\( \begin{pmatrix} 2\\3\\5\\8 \end{pmatrix} \) ]~

---

Ok ich glaube ich lasse einfach ich verstehe gar nichts mehr.

Also ja ich sehe jetzt was ein Vertreter ist aber, ich komme nicht mehr auf die Loesung.

Danke aber fuer deine Hilfe.

---

Löse das lin. Gl.system

\( \begin{pmatrix} 2\\3\\5\\8 \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1\\0\\1\\5 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} 0\\0\\-1\\1 \end{pmatrix} +c \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} +d\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

und du hast den Vertreter dargestellt.