Grenzwert der Folge bestimmen

Question

Aufgabe :

Problem : wie kann ich den Grezwert rechnen ...

Answer 1

Aloha :)

Intuition:

In der Folge wird stets der Mittelwert von \(c_n\) und \(\frac{d}{c_n}\) gebildet. Im Grenzfall \(n\to\infty\) werden sich beide Werte angeglichen haben \(c=\frac dc\), sodass \(c^2=d\) bzw. \(c=\sqrt d\) ist.

Rechnung:

Da wir annehmen dürfen, dass die Folge \((c_n)\) konvergiert, existiert der Grenzwert:$$c\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}c_n=\lim\limits_{n\to\infty}{c_{n+1}}$$sodass wir diesen wie folgt bestimmen können:$$\left.c_{n+1}=\frac12\left(c_n+\frac{d}{c_n}\right)\quad\right|\text{Grenzwert einsetzen}$$$$\left.c=\frac12\left(c+\frac{d}{c}\right)\quad\right|\colon c$$$$\left.1=\frac12\left(1+\frac{d}{c^2}\right)\quad\right|\cdot2$$$$\left.2=1+\frac{d}{c^2}\quad\right|-1$$$$\left.1=\frac{d}{c^2}\quad\right|\text{Kehrwerte}$$$$\left.\frac{c^2}{d}=1\quad\right|\cdot d$$$$\left.c^2=d\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$c=\sqrt d$$

Comments

Hier muss noch vermerkt werden, dass \(c=-\sqrt{d}\)
wegen \(c_1=1\gt 0\) nicht in Frage kommt.

Answer 2

c_n+1 und c_n haben den gleichen Grenzwert g

==>  g = 0,5 * ( g + d/g )   | *g

==>  g^2 = 0,5 * ( g^2 + d )

==>  0,5g^2 = 0,5d

==>  g^2 = d

Da es mit einer pos. 1 anfängt, sind alle

Folgenglieder positiv, also g=√d

siehe auch: Heron-Verfahren