Rekursive Folge betrachten. Anfangswert c.

Question

Wie geht genau soll ich die Aufgabe machen?

Kann mir jemand dabei helfen, ich verstehe nicht wie das geht?

Betrachten Sie für \( c \in \mathbb{N} \) die rekursive Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) definiert durch den Anfangswert \( a_{1}=c \) und

\( a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{a_{n}}{2}, & \text { falls } a_{n} \text { gerade, } \\ 3 a_{n}+1, & \text { falls } a_{n} \text { ungerade }\end{array} \quad(n \geq 1)\right. \)

1. Geben Sie für \( c \in\{1,3,24,336\} \) jeweils die ersten 12 Folgeglieder der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) an.
2. Bestimmen Sie alle Anfangswerte \( c \in \mathbb{N} \), so dass \( a_{6}=1 \) gilt.

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siehe Collatz-Folge bzw. Collatz-Problem.

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Hast Du Schwierigkeiten beim Teil 2?

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Ja, dass habe ich

Answer 1

Hallo,

2. Bestimmen Sie alle Anfangswerte \( c \in \mathbb{N} \), so dass \( a_{6}=1 \) gilt.

Hier gilt es, die Folge rückwärts zu gehen. Nun gibt es im Allgemeinen meistens 2 Möglichkeiten. Im Detail ist das so:

Wenn \(a_6=1\) ist, dann kann \(a_5\) nur \(a_5=2\) gewesen sein. \(a_5=2\) ist gerade, es gilt die erste Regel, also wird daraus \(a_6=a_5/2=1\). Die zweite Regel \(3a_5+1=1\) fällt hier flach, da dann \(a_5=0\) sein müsste und Du solltest beim Teil 1 schon geahnt haben, dass alle Folgeglieder \(a_n\in\mathbb N\) sind.

Für \(a_5=2\) gilt das gleiche. \(a_4=4\), die zweite Regel fällt wieder aus, da das Ergebnis \(3a_n+1\) stets \((1\mod 3)\) sein muss, also der Rest nach der Division durch 3 gibt immer 1, und das ist bei der 2 nicht der Fall.

Für \(a_3\) (als Vorgänger für \(a_4=4\)) gibt es zum ersten Mal zwei Möglichkeiten: \(a_3=8\) und \(a_3=1\). Verfolgt man \(a_3=1\) weiter - wie oben - kommt man bei \(a_1=4\) heraus. Und damit haben wird den ersten der gesuchten Anfangswerte gefunden.

Für \(a_2\) (als Vorgänger von \(a_3=8\)) kommt jetzt wieder nur \(a_2=16\) in Frage. Und jetzt darfst Du mal selber weiter denken.

Die Lösung ist \(c = \in\{4,\,5,\,32\}, \space a_6=1\).

Gruß Werner

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Könntest du mir bitte bei dieser Aufgabe helfen. Komme da leider nicht weiter.

https://www.mathelounge.de/905506/betrag-bruchsungleichung-losen

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Könntest du mir bitte bei dieser Aufgabe helfen.

oswald hat Dir bereits geantwortet. Falls Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

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Weiß nicht wie man auf die Fallunterscheidungen x < -3
-3 ≤ x < 3 kommt

Dachte es wäre einmal x ≥3 und x < -3

x ≥3: 2x/(x-3)(x+3) ≥ 6   

 2x ≤ 6(x^2 -9)

2x ≤ x^2 - 54

6x^2 -2x -54≥ 0

x^2 - 1/3 x -9 ≥ 0

x1 ≥ 3,194 V x2 ≤ -2,861

L1 = {x∈ℝ | x1 ≥ 3,194}

x < 3

1/-(x-3)  + 1/(x+3) ≥ 6

1/(-x+3) +  1/(x+3) ≥ 6

( 1(x+3) + 1(-x+3) )/(-x+3)(x+3) ≥ 6

6/(-x+3)(x+3) ≥ 6

6 ≤ 6(-x+3)(x+3)

6 ≤  6(-x^2 + 9)

1 ≤ -x^2 +9

-8≤ -x^2

x^2 ≤ 8

L2 = {x∈ℝ | -√8 ≤ x< 3}

L= L1 U L2 = {x∈ℝ | x ≥ 3,194 U -√8 ≤ x< 3}

Was für Fehler habe ich da noch gemacht? Danke

Answer 2

Hallo

du musst doch nur für die  4 gegebenen Zahlen  jeweils die 12 Zahlen ausrechnen?

vielleicht bemerkst du ja mal bestimmte Regelmäßigkeiten, bzw Wiederholungen?

Gruß lul

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Das habe ich mir gedacht, aber war mir unsicher. Wär das richtig? :

a_n+1= 336/2

168+1 = 169/2 = 84,5

Oder habe ich das falsch verstanden ?

Gruß

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a_n+1= 336/2
168+1 = 169/2 = 84,5

wenn \(a_1=336\) ist, dann ist \(a_2=168\). Das ist korrekt, da \(a_1\) eine gerade Zahl ist. 168 ist aber auch eine gerade Zahl, also ist wieder die erste Regel anzuwenden:$$a_3 = \frac{a_2}2 = 84, \quad \text{da}\space a_2 \space \text{gerade}$$

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Nie! wird ein an +1 genommen! ungerade Zahlen - und NUR die werden mit 3 multiplizieren und 1addiert, damit sind sie wieder gerade...

eigentlich ist die Vorschrift ehr einfach!

lul