Tut mir leid, ich habe das total vergessen
Text erkannt:
(5) Für alle \( z, w \in \mathbb{C} \) gelten die Rechenregeln aus Bemerkung 2.2, nämlich
\( \begin{aligned} |z| & \geq 0 \quad \text { und } \quad|z|=0 \quad \Longleftrightarrow \quad z=0, \\ |z w| &=|z| \cdot|w|, \\ |z+w| & \leq|z|+|w| . \end{aligned} \)
Falls \( z \in \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \), hat der Absolutbetrag den gleichen Wert wie in Definition 2.1.
(6) Jetzt können wir die Existenz des multiplikativen Inversen überprüfen: für alle \( z \in \mathbb{C}^{\times} \)gilt
\( z \cdot \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\frac{z \bar{z}}{z \bar{z}}=1 \)
(7) Für den Abstand \( |z-w| \in \mathbb{R} \) zweier komplexer Zahlen \( z, w \in \mathbb{C} \) gilt Bemerkung \( 2.3 \) analog, da wir dort nur die Rechenregeln aus Bemerkung \( 2.2 \) benutzt hatten.
Es gibt viele Gründe, komplexe Zahlen einzuführen und zu benutzen. Manche reelle Funktionen lassen sich besser mit Hilfe komplexer Funktionen verstehen, beispielsweise die Winkelfunktionen sin und cos; mehr dazu später.
Aus Sicht der Algebra sind komplexe Zahlen wegen des folgendes Resultats wichtig. Wir werden es im zweiten Semester beweisen; andere Beweise lernen Sie möglicherweise in der Topologie oder der Funktionentheorie. Es gibt jedoch keinen rein algebraischen Beweis - in irgendeiner Form geht bei jedem Beweis die Vollständigkeit der reellen Zahlen ein.
Unter einem Polynom über einem Körper k versteht man einen Ausdruck der Form
\( P(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \quad \text { mit } a_{i} \in \mathbb{k} \text { für } i=1, \ldots, n \text {. } \)
Ist \( a_{n} \neq 0 \), so heißt \( P \) ein Polynom vom Grad \( n \) (das Nullpolynom \( P=0 \) hat nach Konvention den Grad \( -\infty) \). Polynome vom Grad \( \leq 0 \) heißen konstant. Für die Variable \( X \) kann man Zahlen aus \( \mathbb{k} \) einsetzen und erhält eine Funktion \( P: \mathbb{k} \rightarrow \mathbb{k} \). Ist \( P(x)=0 \) für ein \( x \in \mathbb{k} \), so heißt \( x \) eine Nullstelle von \( P \).
