Parabel und eine Gerade

Question

Hallo,

Kann mir bitte jemand mit diesem Beispiel helfen?

Gegeben sind eine Parabel und eine Gerade. Verändere die Steigung der Geraden so, dass sie eine Tangente wird und berechne den Berührpunkt! par: y^2= 8x; g: x+ 4y = -2

Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe

Comments

Gegeben sind eine Parabel...
y^2 =  8x

Ist das eine Parabel ?

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Geometrisch ist die beschriebene Punktmenge eine ("liegende") Parabel.

y^2= 8x ist dasselbe wie x = (1/8)*y^2.

Tipp: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Gleichungen_der_Kegelschnitte

Allgemein: https://de.wikipedia.org/wiki/Kegelschnitt#Allgemeine_Kegelschnittgleichung

Answer 1

Anstatt -4 könnte die Steigung auch unendlich sein. Die beiden Berührpunkte sind eingezeichnet.

Answer 2

y^2= 8x;                g: x+ 4y = -2  <=>  4y = - x - 2 <=>  y = -1/4 x - 1/2

                                                            geänderte Steigung y = mx-1/2

         Schnitt:    (mx-1/2) = 8x

         <=>        m^2 x^2 - mx + 1/4 = 8x

       <=>        m^2 x^2 - (m+8) x + 1/4 = 0

Diskriminante D= (m+8)^2 - 4* m^2 * 1/4

                     = (m+8)^2 - m^2

                     =  16m + 64

D=0 <=>  m = -4 . Also muss g die Steigung -4 haben,

damit es eine Tangente ist.

Berührpunkt: x= ( (m+8) + √D ) / 2m^2  =  4 / 32 = 1/8

                und y = -1  also B( 1/8 ; -1 ) .

Comments

mathef geht von fixem y-Achsenabschnitt der Geraden aus. Ausserdem möglicherweise auch davon, dass der Berührungspunkt in einem bestimmten Quadranten liegen soll. Es sind weitere Interpretationen der abgetippten Fragestellung möglich.

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"Verändere die Steigung der Geraden so,"

ist doch wohl eher so gemeint:

Verändere NUR die Steigung der Geraden so,

(und sonst nix), also insbesondere

den y-Achsenabschnitt nicht.

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Kann irgendein Punkt auf der Geraden sein, der nicht verändert werden soll. Was gemeint ist, ist egal. In einer schriftlichen Prüfungssituation sollten Fragende vermeiden, dass jemand unnötig allgemein rechnet.

Kritik betrifft die Fragestellung nicht (unbedingt) die Antwort.

Answer 3

"Gegeben sind eine Parabel und eine Gerade. Verändere die Steigung der Geraden so, dass sie eine Tangente wird und berechne den Berührpunkt! p: \( y^{2} \) = 8x;  g: x+ 4y = -2"   

Schnittpunkt der Geraden mit der Parabel sind die Berührpunkte für die Tangenten:

p: \( y^{2} \)=8x      g: x=-2-4y

\( y^{2} \)=8*(-2-4y)=-16-32y      

\( y^{2} \)+32y =-16

(y+16)^2=-16+256=240|\( \sqrt{} \)

1.) y+16=\( \sqrt{240} \)

y₁=\( \sqrt{240} \)-16    x₁=-2-4*(\( \sqrt{240} \)-16)

2.) y+16=-\( \sqrt{240} \)

y₂=-\( \sqrt{240} \)-16    x₂=-2-4*(-\( \sqrt{240} \)-16)

zu 1.) Die Gerade schneidet p: \( y^{2} \)=8x im unteren Ast p₂: f(x)=-\( \sqrt{8x} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=-\frac{8}{2 \sqrt{8 x}}=-\frac{4}{\sqrt{8 x}} \)

\( m_{1}=-\frac{4}{\sqrt{8 \cdot x_{1}}} \)

\( m_{2}=-\frac{4}{\sqrt{8 \cdot x_{2}}} \)