Aloha :)
Für \(x<0\) prüfen wir, ob der Grenzwert des Differenzenqoutienten existiert:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\stackrel{(x<0)}{=}\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x^2+2xh+h^2)-x^2}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim\limits_{h\to0}\left(2x+h\right)=2x\quad\checkmark$$
Für \(x>0\) prüfen wir ebenfalls, ob der Grenzwert des Differenzenqoutienten existiert:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\stackrel{(x>0)}{=}\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{3x^2h+3xh^2+h^3}{h}$$$$\phantom{f'(x)}=\lim\limits_{h\to0}\left(3x^2+3xh+h^2\right)=3x^2\quad\checkmark$$
Die kritische Stelle ist nun \(x=0\), weil hier der Grenzwert des Differenzenquotienten von zwei unterschiedlichen Funktionen gebildet wird, je nach dem, ob wir uns von links oder von rechts der Stelle \(x=0\) nähern. Die Ableitung muss eindeutig sein, d.h. die beiden Grenzwerte müssen gleich sein. Beachte, dass \(f(0)=0\) ist.
$$\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\stackrel{(0+h<0)}=\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{(0+h)^2-0}{h}=\lim\limits_{h\nearrow0}\frac{h^2}{h}=\lim\limits_{h\nearrow0}(h)=0$$$$\lim\limits_{h\searrow0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}\stackrel{(0+h>0)}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{(0+h)^3-0}{h}=\lim\limits_{h\searrow0}\frac{h^3}{h}=\lim\limits_{h\nearrow0}(h^2)=0$$Also existiert auch die Ableitung an der Stelle \(x=0\) und es gilt \(f'(0)=0\).
