Aufgabe:
(a) Sei \( k \in \mathbb{N} . \) Für \( n \in \mathbb{N} \) sei die Funkion \( f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x)=\frac{x^{k}}{x^{2}+n} \) gegeben. Untersuchen Sie, für welche \( k \) die Funktionenfolge \( \left(f_{n}\right) \) gleichmäßig konvergiert. Untersuchen Sie weiter, für welche \( k \in \mathbb{N} \) diese Funktionenfolge auf jedem kompakten Intervall \( [a, b] \) gleichmäßig konvergiert.<br />(b) Untersuchen Sie die Funktionenreihen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:<br />(i) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{2}}{x^{3}+n^{3}}, \quad x \in[0,2] \),<br />(ii) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}, \quad x \in \mathbb{R} \).
Problem/Ansatz:
Hallöchen,
ich habe leider paar Schwierigkeiten, bei dieser Aufgabe.
Bei (a) weiß ich, dass man eine gleichmäßige Konvergenz berechnet, indem man die Formel : |\(f_{n}(x) \) - f(x)| verwendet. f(x) findet man heraus mithilfe von \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \(f_{n}(x) \) berechnet. Aber was muss man nachher machen um das mit \( k \) rauszufinden, sowie auch das mit dem Intervall zu lösen?
(b) macht micht komplett verrückt. Da verstehe ich nicht wie man das mit einer Summe berechnet.
Danke für eure Hilfe :)
