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Bezeichne \( V \) den reellen Vektorraum \( \mathbb{R}[X] \) und \( M \subset \mathbb{R} \) eine Menge mit \( d \) Elementen. Seien \( U_{1}:=\{f \in \mathbb{R}[X] \mid \forall m \in M: f(m)=0\}, U_{2}:=\{f \in \mathbb{R}[X] \mid \operatorname{deg}(f) \leq d-1\} \) zwei Untervektorräume von \( V \) und weiter \( \Phi: V \rightarrow \operatorname{Abb}(M, \mathbb{R}) \) die durch \( \Phi(f)(m):=f(m) \) gegebene lineare Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass \( \left.\Phi\right|_{U_{2}}: U_{2} \rightarrow \operatorname{Abb}(M, \mathbb{R}) \) ein Vektorraum-Isomorphismus ist.
b) Folgern Sie mit dem Homomorphiesatz, dass auch gilt: \( V / U_{1} \cong \operatorname{Abb}(M, \mathbb{R}) \).
c) Folgern Sie, dass \( U_{2} \) ein Komplement von \( U_{1} \) ist.
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden: Ein Polynom in \( \mathbb{K}[X] \) von Grad \( n \in \mathbb{N}_{0} \) hat höchstens \( n \) Nullstellen in \( \mathbb{K} \).
