Es sei f : Q3 → Q3 Zeigen Sie, dass f invertierbar ist und geben Sie die Umkehrabbildung an

Question

Aufgabe:

Es sei f : Q3 → Q3 die lineare Abbildung, welche die Standardbasis
e1, e2, e3 wie folgt abbildet:
        (1)                (0)              (0)

e1 → (0)       e2 →(3)      e3 →(0)

      (0)                (5)               (5)



i) Zeigen Sie, dass f invertierbar ist und geben Sie die Umkehrabbildung an.

Answer 1

Hallo

1. Det≠0 oder Zeilen Lin. unabhängig

dann invertierbar, Matrix invertieren kannst du , sonst hilft dir ein Matrizenrechner im net.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Um die Abbildungsmatrix \(F\) zu erhalten, schreibst du die Bilder der Basisvektoren einfach als Spalten auf:$$F=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 3 & 0\\0 & 5 & 5\end{pmatrix}$$Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante \(\ne0\) ist. Da wir hier eine Dreieckmatrix vorliegen haben, ist die Determinante einfach das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen, also gleich \(1\cdot3\cdot5=15\). Die Matrix ist also invertierbar.

Die inverse Matrix bzw. die Umkehrabbildung lautet:$$F^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & \frac13 & 0\\[0.5ex]0 & -\frac13 & \frac15\end{array}\right)$$